Problème de calcul pour les coordonnées d'un vecteur

[Legolas2mars]

Bonjour à tous, je vais encore usé de vos bons et loyaux services mais sur 30 exercices c'est le seul pour lequel je ne trouve pas la bonne réponse. Par avance merci.

Voici l'énoncé : Dans un plan muni d'un repère orthonormé, on considère
- les points A(2;6) et B(0,10),
- le vecteur u (avec flèche) de composantes (-3;2)
- le vecteur v (avec flèche) perpendiculaire au vecteur u, de même norme que u et de composante selon x négative.

Que vaut le produit scalaire entre les vecteurs v et AB ?
1) -16
2) -8
3) 8
4) 16

La réponse est la 2) -8, mais je trouve 16. Et je ne trouve pas mon erreur.

Voici ce que j'ai fais:
- AB ( -2;4)
- u (-3;2)
- v (-x;y)car on dit "selon x de composante négative"

- u x v = 0 d'où u x v = x(v).x(u) + y(v).y(u) = 3x+2y = 0
- ||⃗u|| = ||⃗v|| = racine (x(u)^2 + y(u)^2) = racine ((-3)^2 + (2)^2) = racine (9+4) = racine 13
d'où ||⃗v||= racine (x^2 +y^2) = racine 13 soit x^2 +y^2 = 13.

Donc on a un système à deux équations =
3x+2y = 0
x^2 +y^2 = 13

J'isole d'abord x = -(2/3)y
Puis le remplace l'autre équation : (-(2/3)y)^2 + y^2 = 13 <=> y = 3
Et x=-2
Donc v(-2;3)

Alors v x AB = (-2.-2) + (4.3) = 4+12 = 16.

Merci pour votre aide.

[chan79]

salut
Pour les coordonnées de v , tu dois trouver (-2;-3)

Dans ton calcul, c'est plutôt: -3x+2y=0

[lyceen95]

Pour trouver v, tu passes par plein de calculs compliqués, et tu trouves (-2,3). C'est bon.
Je dis que tu passes par plein de calculs compliqués, parce que les 2 vecteurs qui sont orthogonaux à (a,b), et de meme norme que (a,b), c'est les 2 vecteurs (b,-a) et (-b,a).... C'est bien ce que tu trouves.
Et du coup, le produit scalaire est bien 16.
Tu as raison.
Coquille dans le bouquin.

[lyceen95]

Oups... non, erreur de signe, les coordonnées de v sont (-2,-3) ...et donc la réponse du bouquin est la bonne

[Legolas2mars]

J'avais tenté avec v(x;y) c'est à dire sans le x négatif pour le vecteur v et ça ne change rien. Même si l'équation est -3x+2y=0, en insérant x=2/3y dans l'autre équation x^2 +y^2 = 13 , je trouve les mêmes valeurs puisque x est au carré...
Si quelqu'un pouvais me donner le calcul ou identifier mon erreur ce serait sympa.

[danyL]

Code: Tout sélectionner

Puis le remplace l'autre équation : (-(2/3)y)^2 + y^2 = 13 <=> y = 3

bonsoir
y² = 9 n'est pas équivalent à y = 3
mais à y = 3 ou y = -3

[fatal_error]

Voici ce que j'ai fais:
- AB ( -2;4)
- u (-3;2)
- v (-x;y)car on dit "selon x de composante négative"

!! ca signifie que ici, tu imposes x positif. (et donc v_x = -x sera bien négative)!

- u x v = 0 d'où u x v = x(v).x(u) + y(v).y(u) = 3x+2y = 0

si possible, préfères écrire v_x pour la composante de v sur x, idem v_y
si possible 2, préfère écrire u.v plutot que uxv (ca peut être un autre produit, le point est souvent le produit scalaire...)

Donc on a un système à deux équations =
3x+2y = 0
x^2 +y^2 = 13

J'isole d'abord x = -(2/3)y
Puis le remplace l'autre équation : (-(2/3)y)^2 + y^2 = 13 <=> y = 3

FAUX
;
Et donc les couples (x;y) candidats (attention c'est pas v) sont:
(2; -3) et (-2;3)

comme tu as pris v(-x;y) et qu'on a bien précisé au début qu'on veut x positif, alors on garde le couple (2;-3)
et donc v(-2;-3)

[lyceen95]

On peut tous faire des erreurs dans les calculs, On n'est jamais à l'abri. La technique pour lutter contre ça, c'est de vérifier à la fin.
Quand tu trouves les coordonnées de v, tu peux vérifier si ces coordonnées vérifient ce qu'on voulait au départ. Est-ce que v est perpendiculaire à u.
Tu recalcules donc le produit scalaire de u par v et tu vérifies si tu trouves 0.

Tu peux aussi avoir une démarche plus 'visuelle'. Ici u a pour coordonnées (-3,2). Donc c'est une fleche vers la gauche, et vers le haut ( la gauche parce que x est négatif), et le haut parce que y est positif).
Les vecteurs perpendiculaires à u seront donc soit des vecteurs vers en haut à droite (x et y positifs), soit vers en bas à gauche (x et y négatifs). Donc déjà, sans même calculer le produit scalaire, si x et y ne sont pas du même signe, le vecteur obtenu ne peut pas être perpendiculaire à u.

[Legolas2mars]

Ah m***e, j'avais pas tenu compte des deux valeurs pour le y^2 , je comprends mieux pourquoi ils ont précisé " composante selon x négative".

Merciiii beaucoup les gars !!!!

[Legolas2mars]

Et c'est pas mal ce que tu fais lyceen95, j'avoue que je n'image pas du tout les vecteurs (leur sens, leur direction) quand je les calcule. Merci pour l'astuce !!