Probleme barycentre et longueur

[cricrilivia]

Bonjour,
J'ai un probleme de maths que je ne vois pas comment resoudre.
Je vous donne l'ennocé mais la question qui me pose probleme est la question 3). Merci

Soit ABC un triangle rectangle en A, A' le milieu de [BC] et G le centre de gravité de ABC. On pose BC=a

1) Exprimer AA', AG en fonction de a puis calculer 4vect(GA).vect(AA') en fonction de a. (Sans probleme)

2) Exprimer GB²+GC² en fonction de a et en déduire qu GA²+GB²+GC²=2a²/3
(Sans probleme aussi)

3) Montrer que pour tout point M du plan MA²+MB²+MC²=GA²+GB²+GC²+3MG²
Alors la probleme. Je vois bien que

vect(MA)+vect(MB)+vect(MC)=3vect(MG)
et que vect(GA)+vect(GB)+vect(GC)=0

donc vect(MA)+vect(MB)+vect(MC)=vect(GA)+vect(GB)+vect(GC)+3vect(MG)

mais comment trouver la meme chose avec des longueurs au carré

Merci

[Skrilax]

ça sent le théorème de réduction à plein nez. Tu l'as vu ?
Essaie avec et si tu n'y arrives pas j'essaierai :)

(mais je garantis rien) :we:

[bombastus]

Théorème de réduction? Késako?

Sinon avec Chasles en introduisant G dans MA², MB² et MC², ça le fait aussi.

[cricrilivia]

je n'ai pas vu le theoreme de reduction, je suis desole.

[cricrilivia]

La relation de Chasles ne marche pas que pour les vecteurs?

[Skrilax]

Le théorème de reduction dit que :

Avec G barycentre de (A,a) (B,b) (C,c) ( a+b+c différent de 0 bien sûr...)
On a alors, quel que soit M : a vect(MA) + b vect(MB) + c vect(MC) = (a+b+c) vect(MG). Mais en fait ça marche pas ici, j'ai parlé trop vite :)

Et sinon, pour ce qui est de la relation de Chasles :

AB² = (vectAB)² donc AB² = ( vect(AI) + vect(IB) )²

[cricrilivia]

je connais effectivement le theoreme de reduction. La relation de Chasles comme ca je ne la connaissait pas .
Mais mon probleme est toujours le meme probleme, comment passer des vecteurs aux longueurs au carre?
merci

[bombastus]

En faisant comme l'a indiqué Skrilax :
( vect(AI) + vect(IB) )² et ensuite tu développes comme une identité remarquable :
( vect(AI) + vect(IB) )² = (vect(AI))² + 2 vect(AI).vect(IB) + (vect(IB))²
= AI² + 2 vect(AI).vect(IB) + IB²

[cricrilivia]

Ok merci pour tout
Je vais essayer
Au revoir

[cricrilivia]

Ca marche
Merci a bombastus et skrilax

[Skrilax]

De rien j'ai pas fait grand chose personnellement ^^