Problème avec la dérivabilité de |x|

[variobike01]

Bonjour à tous,

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi, il est impossible de dériver f(x)=|x| en 0.
En effet, on me dit qu'il n'y a pas de tangente en ce point, or l'axe des X n'est-il pas tangent à ce point ?

Merci
@ Bientôt
Rémi

[Benjamin]

Bonjour,
L'axe des abscisses n'est pas une tangente à la fonction |x|. Il faut revenir à la définition de la dérivée pour comprendre. Soit une fonction continue en a. Une fonction est dérivable en a si et seulement si . Autrement dit, si tu arrives par la droite ou par la gauche à ton point, les tangentes deviennent confondues. Dans ce cas, f'(a) existe et .


Prenons |x| en 0+, dans ce cas, |x|=x et donc .


Prenons |x| en 0-, dans ce cas, |x|=-x et donc .


Tu n'as donc pas égalité des limites à gauche et à droite. Tu as une tangente pour 0+ et une pour 0-. f'(0) serait la pente de la tangente unique en ce point. On comprend donc bien qu'on ne peut pas définir ici f'(0).

[Orchidée]

Bonjour

Avec f(x)=|x| on a :

Lim de f(x)-f(0)/x (Lorsque x tend vers 0)
=lim f(x)/x
=lim |x|/x

Si x > 0 la limite à droite est 1 car x/x = 1
Si x < 0 la limite à gauche est -1 car -x/x = -1

Voila :++:

[variobike01]

Merci pour vos réponses.
C'est désormais plus clair.

@ Bientôt
Rémi