[resolu]Problème algébrique!

[djgeo]

Bonjour,
Je m'appelle Geoffrey j'ai 16ans.
Voila je vais être clair, je n'arrive pas a résoudre un probleme qui semble peu complexe mais qu'il l'est.

Soit 3X+5y=501

Combien il y a t il de solution pour que la somme des deux nombres soit égale a 501?

Démontrer par calcule(algébriquement) la solution.

Merci pour vos réponse

Coordialement :hein:

[Quidam]

1 - En quelle classe es-tu ? (Ta réponse conditionnera les nôtres)
2 - Pour commencer, tu peux remarquer que 501 est divisible par 3 :
Donc 5y=501-3x est divisible par 3 et comme 5 est premier avec 3, y est forcément un multiple de 3 : tu poses alors y=3y' et tu simplifies l'équation :
5*3y'=3*167-3*x
5y'=167-x

Continue en faisant la division euclidienne de x par 5 : x = 5x'+k, avec 0<=k<5...

[huntersoul]

salut
j'ai une petite idée mais je ne suis pas sur j'ai besoin aussi de confirmation
on 3x+5y=501
donc x=-5/3 x+501/3=-5/3 x+167
ce qui donne S={(-5/3 x+167,y)/yappR}
((app=appartient))
et voilà

[djgeo]

Merci pour vos reponses.
mais je pencherai plus tot pour la premiere repnse obtenue.
Meme si je n'aie pas bien compirs
Enfin souhate je suis en Belgique.
Donc 4eme sciences langues math.
Merci a vous
Coordialement

[Quidam]

Enfin souhate je suis en Belgique.
Donc 4eme sciences langues math.

Ah ! Je ne connais pas les programmes en Belgique ! Tant pis, je vais essayer de t'aider malgré tout ! As-tu essayé de continuer mon raisonnement ?

[eclipse]

Bonjour djgeo,

Je suis belge. Quand tu dis être en 4ème, c'est selon le système français ou belge?

En fait ta question est un piège car tu apprends certainement à travailler avec des fonctions et à trouver les domaines de définitions.

Etant donné qu'on te demande le nombre de solution et que l'exercice ne met aucune condition, x et y peuvent être des chiffres décimaux, des entiers positifs et négatifs.

Pour résoudre, il faut isoler y. Ainsi, tu auras une fonction.

3X+5y=501
5y = 501 - 3x
y = (501 - 3x) / 5

Le nombre de solution est déterminée par le domaine de définition.
On trouve ce domaine en posant les conditions d'existence.
Dans cette fonction, il n'y a ni racine, ni d'iconnues au dénominateur donc le domaine est l'ensemble des réels.

La réponse est donc une infinité de solutions!

Eclipse.

[Quidam]

En fait ta question est un piège car tu apprends certainement à travailler avec des fonctions et à trouver les domaines de définitions.
La réponse est donc une infinité de solutions!

Eclipse.

Ca se défend comme approche ! C'est effectivement possible. Mais je pense cependant qu'il s'agit d'un problème en nombres entiers. Il n'est pas exclu que djgeo ait simplement omis de mentionner ce détail !

Mais tu as peut-être raison ...

[djgeo]

Oui desoler Quidam .
Je suis fort distrait c'est temps si et je tien frenchement a me faire pardonner!
Je suis en 4éme année du secondaire (Belgique).
Je ne sais pas se que sa represente en France désoler.

Sa ne peux etre que des réels positifs.
C'est dernier jour nous avons vu les fonctions et sa ne m'etonerai pas,vu sa sournoiserie,qu'il nous aie donner un probleme genre fonction ou il faut trouver le dom. parité ect.
Pour toi Quidam j'ai regarder ta résolution mais les reponse ne m'interesse pas,
je dois juste prouvé combien de possibilité pourai-je avoir avec des reels possitifs.
Mais merci quand même ce n'est pas totalement faut!
C'est dernier jours notre prof. nous a dis la réponse il s'agis de (33 possibilité)
Il pensait car il a fait un calcule rapide il n'avai rien sous la main...a par une calculette graphique.
Maintenant il faut que je démontre comment je pourrai obtenir sa :s .
J'en aie reflechi des heures et j'ai obtenu des possibilités qui ayant ni queue ni tête ...

Merci a vous
Vous êtes vraiment sympa
Coordialement

[Quidam]

Je suis fort distrait c'est temps si et je tien frenchement a me faire pardonner!

Je me suis mal fait comprendre ! Tu n'as absolument rien à te faire pardonner ! Les réponses à tes questions dépendent des choses que tu es censé connaître et de celles que tu n'es pas encore censé connaître. Voilà pourquoi je désirais connaître la classe où tu étais ; mais comme je ne connais pas les programmes en Belgique, tant pis pour moi ; je suis obligé de faire des suppositions.

Pour toi Quidam j'ai regarder ta résolution mais les reponse ne m'interesse pas,
je dois juste prouvé combien de possibilité pourai-je avoir avec des reels possitifs.
Mais merci quand même ce n'est pas totalement faut!

Trop aimable !

C'est dernier jours notre prof. nous a dis la réponse il s'agis de (33 possibilité)
Il pensait car il a fait un calcule rapide il n'avai rien sous la main...a par une calculette graphique.
Maintenant il faut que je démontre comment je pourrai obtenir sa :s .

J'avais compris ! Le fait que ton prof dise qu'il y a 33 solutions me confirme qu'il s'agit bien d'un problème en nombres entiers (cependant, moi j'en ai trouvé 34 !) eclipse a raison : s'il s'agit de réels positifs - comme tu dis - il y a une infinité de solutions ! Si les nombres x et y trouvés doivent être entiers naturels (positifs, c'est à dire éventuellement nuls) alors il y a exactement 34 solutions. Et ce que j'ai commencé à faire devrait t'amener à cette constatation !
Donc, non seulement mon raisonnement n'est pas totalement faux, mais je crois bien que c'est exactement ce que ton prof attend de toi ! En continuant le processus que j'ai commencé, tu vas tomber sur une forme du problème qui t'indiquera immédiatement qu'il y a 34 solutions en nombres entiers !

Mais c'est toi qui vois...

[djgeo]

Quidam,
j'aimerais si possible,que tu me fasses toute la démonstration sur celà,je te remercie.Si pas je me débrouillerai.Un grand merci à toi et a vous autres

Coordialement.

[Quidam]

Quidam,
j'aimerais si possible,que tu me fasses toute la démonstration sur celà,je te remercie.Si pas je me débrouillerai.Un grand merci à toi et a vous autres

Coordialement.

Pour commencer, on peut remarquer que 501 est divisible par 3 :
Donc 5y=501-3x est divisible par 3 et comme 5 est premier avec 3, y est forcément un multiple de 3 : on pose alors y=3y' et on simplifie l'équation :
5*3y'=3*167-3*x
5y'=167-x
On a à gauche un multiple de 5, donc il est naturel d'étudier la division euclidienne de x par 5, ainsi que celle de 167 :
x=5x'+k avec
167=5*33+2
Donc "5y'=167-x" devient :
5y' = 5*33+2-(5x'+k)
5y'-5*33+5x'=2-k
5(y'-33+x')=2-k
2-k est donc un multiple de 5. Et comme , et seul le nombre 0 convient pour 2-k.
2-k=0 donc k=2

5y' = 5*33+2-(5x'+k)
5y' = 5*33+2-(5x'+2)
5y' = 5*33-5x'
5y' = 5(33-x')
y' = 33-x'
x'+y' = 33
Donc on peut choisir deux entiers positifs ou nuls x' et y' donc la somme est 33. Avec y'=33-x', on voit qu'on peut par exemple choisir x' entre 0 et 33 inclus (donc 34 possibilités)
x=5x'+2
y=3y'=3(33-x')

Pour x'=0, on trouve x=2, y=99 : on constate que 3x+5y=501
Pour x'=1, on trouve x=7, y=96 : on constate que 3x+5y=501
Pour x'=2, on trouve x=12, y=93 : on constate que 3x+5y=501
...
Pour x'=33, on trouve x=167, y=0 : on constate que 3x+5y=501


Voilà ! 34 solutions !

[eclipse]

En effet, la précision était importante (solutions = entiers positifs)
Comme Quidam j'ai trouvé 34. Mais il y en a 33 si y ne peut pas valoir zéro.

[eclipse]

Si ton prof a trouvé avec sa calculatrice en quelques secondes, je pense savoir comment il a fait.

Si je reprends la première partie du raisonnement de Quidam :

Pour commencer, on peut remarquer que 501 est divisible par 3 :
Donc 5y=501-3x est divisible par 3

Je t'avais écris plus haut : y = (501 - 3x) / 5

Voici le raisonnement :

* 501 est divisible par 3
* en retirant 3x de 501, (501-3x) reste divisible par 3
* etant donné que y doit être un nombre entier, il faut que (501-3x) soit divisible par 5

OR "lorsqu'un nombre est divisible par deux nombres premiers, ce nombre est divisible par leur produit."

Dans ce cas, les deux nombres premiers sont 3 et 5, leur produit étant 15!

Si tu divises 501 par 15, tu trouves 33,4...une valeur approchée
Ce qui est logique puisque 501 n'est pas un multiple de 5. La valeur la plus proche de 501 à la fois multiple de 5 et de 3 est 495.
495/15= 33

Le même raisonnement se tient si ton prof avait mis 201 à la place de 501.
201 est disible par 3 mais pas par 5, donc :
je retire 3, on a 201-3=198 => n'est toujours pas divisible par 5
je retire encore 3 , on a 198-3=195 => est divisible par 5

Et 195/15 = 13.

Pourquoi n'ai-je pas pris 401 ou 301 comme autre exemple, pourrais-tu me demander? Car 401 et 301 ne sont pas multiples de 3!

Le nombre 13 et 33 sont justes car j'ai pu écrire toutes les solutions. Seulement on ne compte pas 0 comme valeur de y, sinon tu dois en ajouter une.

Pourquoi la solution 0 n'y est pas?
Car si y = 0 alors 3x = 501,
et pour trouver le nombre de solution, on a du diviser 495 par 15, donnant un nombre entier de solutions.
501 n'étant pas multiple de 5, on a éliminé la solution donnant y = 0!


Pour info, la 4ème en Belgique correspond à la 2ème en France.

Le raisonnement de Quidam est juste mais un peu compliqué pour ton niveau à mon avis car tu ne dois pas avoir l'habitude de travailler avec plusieurs variables et des changements de variables. Il te faudrait être en 6ème pour cela. A moins que tu n'ais vraiment un prof tordu...

Je suis quand même curieuse de savoir comment ton prof va vous l'expliquer. Tu pourrais nous le dire dès que tu sauras, svp?

Bon week-end. Eclipse

[djgeo]

Merciii a vous grace a votre aide je ne vais pas être en échec,
Je voudrai vous remerciez tous.
Et ne vous inquiétez pas dés que j'ai la réponse je la vous fait parvenir.

Vous êtes sympa les gars un grand merci (k)(k)

En particulier a Quidam et a Eclpise

Coordialement