Problème d'algèbre

[victoria161104]

Bonjour, je suis en seconde et j'ai un DM à faire mais je bloque sur une question, quelqu'un pourrait-t-il m'aider ?:
On considère trois nombres réels non nuls, b, j et w tels que bj + jw + bw = 0. Déterminez à quel nombre entier est égal l'expression suivante: (b + j)/w + (j + w)/b + (b+w)/j
Vous expliquerez votre raisonnement

[fatal_error]

slt,

je suis pas allez jusqu'au bout de l'exo mais si on te dit que (b + j)/w + (j + w)/b + (b+w)/j vaut un entier bien précis, donc quelquesoit (b,jw) tant qu'ils satisfont bj + jw + bw = 0, ben j'aurais envie de trouver un triplet de valeur puis apres appliquer sur (b + j)/w + (j + w)/b + (b+w)/j.

Donc comme chui un peu bête j'ai testé b=1, j = 1, w=1....mais ca marche pas.
donc ptet essaie d'exprimer b en fonction de j et w (puis tu fixes j et w par exemple à 1) et tu déduis b

puis apres t'as juste une application numérique pour déduire (b + j)/w + (j + w)/b + (b+w)/j

[victoria161104]

merci c'est ça je pense que ça doit être 3 ou -3

[fatal_error]

perso, je trouve -3 avec b=-1/2 et j = 1, w = 1

[victoria161104]

j'ai aussi trouvé -3

[LB2]

Bonsoir,

si on réduit tout au même dénominateur, qui est bjw, on peut presque factoriser le numérateur par bj + jw + bw : il faut pour cela ajouter 3bjw. On obtient donc que l'expression voulue vaut toujours -3.

[Black Jack]

(b + j)/w + (j + w)/b + (b+w)/j
= [jb(b+j) + jw/(j+w) + wb.(b+w)]/(wjb)
= (jb² + j²b + j²w + jw² + wb² + w²b)/(wjb)
= [j.(jb + jw) + b(jb + bw) + w(jw + bw)]/(wjb)
= [j.(jb + jw + bw - bw) + b(jb + bw + jw - jw) + w(jw + bw + jb - jb)]/(wjb)

Et avec jb + jw + bw = 0 --->

= -3wjb/(wjb)
= -3

[LB2]

J'écrirais plutôt, mais cela revient au même, (b+j+w)(bj+bw+jw) -3bjw = (b+j)bj+(b+w)bw+(j+w)jw

Cette égalité est la clé de cet exercice.

[Ben314]

Salut,
Perso., surtout au niveau seconde, ça me semblerais quand même plus simple (au niveau du processus intellectuel) d'utiliser la contrainte pour exprimer une des variable en fonction des autres plutôt que de partir bille en tête de la formule à évaluer puis de chercher à "faire apparaitre" la contrainte.
Surtout que là, de passer de à , on peut pas dire que ce soit du monstrueusement compliqué et ça donne ensuite

Certes, c'est moins joli vu qu'on a un peu "disymétrisé" le problème en privilégiant une variable, mais ça me semble bien plus formateur au niveau seconde : quand on a une/des équation(s) on essaye de les écrire de façon à ce qu'elles donnent la valeur de certaines variables en fonction des autres.

[LB2]

Tout à fait d'accord avec @Ben314

[Black Jack]

Salut,

Soit, mais alors il faut penser à démontrer que par la contrainte, on ne peut pas avoir b+j=0

C'est évident ... mais il faut le faire me semble-t-il.

[nodgim]

Ou encore autrement :
jb + bw + jw = 0 ======> 1 / b + 1 / j + 1 / w = 0 si on exclut 0 pour chacune des 3 variables.

(b+j)/w+ .....= b ( 1/w+ 1/ j) +.....= b ( - 1/b) +.... = -1 + .....= -3.

[Ben314]

Soit, mais alors il faut penser à démontrer que par la contrainte, on ne peut pas avoir b+j=0
C'est évident ... mais il faut le faire me semble-t-il.

Oui : si on veut tout écrire correctement, partant de il faut écrire que puis que, vu que et sont supposés non nuls, le produit est lui aussi non nul donc est non nul ce qui justifie qu'on peut tout diviser par .