Probablilités

[Romain78]

Bonjour

J'ai une question sur les probabilités.

L'exercice suppose que l'on joue à une sorte de loto à 40 numeros, on choisit 10 numéros.

Quelle est la probabilité de gagner le super gros lot (avoir les 10 bons numéros).

Là, je connais la réponse : c'est 1 / 847.660.528 que je trouve par 40! / (10! x (40-10)!)

Quelle est la probabilité de gagner un gros lot en ayant trouvé 9 bons numéros.
Et ça continue en disant qu'on trouve 8 numéros, 7 numéros,...

Là, je ne suis pas sûr :hum:

Je dirais bien que 9 numéros c'est 10 / 847.660.528 avec 10 qui vient de 10! / (9! x (10-9)!)

Et pour X numéros ce serait Y / 847.660.528 avec Y = 10! / (X! x (10-X)!)

En fait j'ai trouvé ça dans un des exos qu'on a fait en classe, mais c'est pas clair, j'ai juste noté la réponse... je n'arrive à comprendre le raisonnement... :doute:

Merci d'avance :++:

[Bebs]

Il s'agit d'un tirage sans remise et on ne s'interesse pas à l'ordre de sorties des boules, c'est à dire : (3,15,48) = (48,3,15).

Dans le cas où on s'interesse à l'ordre des boules :
P(b1) = 1/40 (probabilité de piocher une boule b1 parmi 40)
P(b2) = 1/39 (probabilité de piocher b2 parmi 39 (la b1 étant déjà dehors)).
P(b3) = 1/38
...
P(b10) = 1/31

Donc la probabilité de faire un tirage dans l'ordre b1,b2,...,b10 =
= (1/40) * (1/39) * ... * (1/31) = 1/(40*...*31)
= (40-10)!/40!

Essaye de trouver ce qu'il faut faire si tu ne t'interesses pas à l'ordre.

[Romain78]

Essaye de trouver ce qu'il faut faire si tu ne t'interesses pas à l'ordre.

Oui, OK, c'est bien ce que j'ai écrit 40! / (10! x (40-10)!) pour avoir le nombre de tirages possibles de 10 numéros parmi 40.

Ma question c'est la probabilité de trouver X bons numéros parmi les 10. Est-ce que ma solution est bonne ?

[Bebs]

Je pense qu'il faudrait regarder la probabilité d'en trouver 9, mais pas 10.
l'évenement {en trouver 10} est inclus dans {en trouver 9}
tu cherches
P{en trouver 9 mais pas 10} =
P{en trouver 9} - P({en trouver 9} intersection {en trouver 10})

[Romain78]

Je crois que la réponse est là
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=66272

La proba de trouver X bons numéros si on en tire 10 sur 40 est
(X parmi 10) / (X parmi 40)

[Flodelarab]

Romain, je crois que tu fais l'erreur classique de vouloir aller trop vite. Avant de parler de probabilités, parle de dénombrement. On va compter le nombre de grilles.

Combien de grilles au total ?
On tire 10 nombres parmi 40 indépendamment de l'ordre et sans répétitions. C'est donc une combinaison. le nombre de grilles possibles est donc . Bon ça tu avais trouvé.

Combien de grilles ont exactement 10 bons numéros ?
Une seule.
Proba = (nombre de cas favorables)/(nombres de cas possibles)=1/847660528

Combien de grilles ont exactement 9 bons numéros ?
On tire 9 numéros parmi les 10 bons indépendamment de l'ordre et sans répétition ainsi qu'une boule parmi 30 (pour faire le numéro faux) indépendamment de l'ordre et sans répétitions. Il s'agit de 2 combinaisons.
On a donc : grilles à 9 bons numéros
Proba = (nombre de cas favorables)/(nombres de cas possibles)= 300/847660528

etc ....

ok ?

[Romain78]

Romain, je crois que tu fais l'erreur classique de vouloir aller trop vite. Avant de parler de probabilités, parle de dénombrement. On va compter le nombre de grilles.

Combien de grilles au total ?
On tire 10 nombres parmi 40 indépendamment de l'ordre et sans répétitions. C'est donc une combinaison. le nombre de grilles possibles est donc . Bon ça tu avais trouvé.

Combien de grilles ont exactement 10 bons numéros ?
Une seule.
Proba = (nombre de cas favorables)/(nombres de cas possibles)=1/847660528

Combien de grilles ont exactement 9 bons numéros ?
On tire 9 numéros parmi les 10 bons indépendamment de l'ordre et sans répétition ainsi qu'une boule parmi 30 (pour faire le numéro faux) indépendamment de l'ordre et sans répétitions. Il s'agit de 2 combinaisons.
On a donc : grilles à 9 bons numéros
Proba = (nombre de cas favorables)/(nombres de cas possibles)= 300/847660528

etc ....

ok ?

Ben non, pas ok :mur:

Je ne comprends pas le raisonnement du dénombrement.

Bon, j'intuite que la formule du nombre de grilles à X bons numéros sachant qu'on a tiré 10 numéros sur 40 est du genre
avec 30 = 40-10 mais je suis incapable de comprendre ce truc
:marteau:

Je cherche le nombre de grilles possibles qui comportent X bons numéros.
Ce serait (le nombre de combinaisons de X parmi 10) fois (le nombre de combinaisons de 10-X parmi 30) ? Mais pourquoi ? Je pige pas.

J'ai bien aimé les lois continues parce que ça ressemble à des fonctions, les probas avec des arbres ça va, la loi binômiale ça va aussi, mais ces fichues histoires de dénombrement, rien à faire ça veut pas.

[Flodelarab]

Tu sais compter tes doigts ?
Ben c'est pareil sauf qu'on le fait de façon industrielle. Et on n'appelle pas cela comptage mais dénombrement. Mais c'est pareil.

Fais la liste (la vraie!) des grilles à exactement 9 bons numéros.
(je considère que les bons numéros sont 1 2 3 4 5 6 7 8 9 et 10)
Il y a:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 13
1 2 3 4 5 6 7 8 9 14
....
1 2 3 4 5 6 7 8 9 39
1 2 3 4 5 6 7 8 9 40
1 2 3 4 5 6 7 8 10 11
1 2 3 4 5 6 7 8 10 12
....
1 2 3 4 5 6 7 8 10 40
etc ....

Tu vois bien que pour chaque série de n bons numéros, il faudra trouver une série de (10-n) mauvais numéros. C'est une multiplication. Comme celle étudiée en CP.
Peu importe les bons numéros choisis et les mauvais numéros choisis.

Mais alors ? Combien de combinaisons de n bons numéros parmi 10 ?
cf cours:
Combien de combinaisons de 10-n mauvais numéros parmi 30 ?
cf cours:

On reste toujours dans le concret quand on dénombre. On fait la liste. Voilà pourquoi se jeter dans les probas avant même d'avoir compris quelles grilles sont cochées est souvent source d'erreurs.

[Romain78]

Merci, j'ai compris.

Y'a d'autres exercices avec des cartes, genre poker. Je vais essayer de les faire, mais vraiment ce n'est pas intuitif du tout pour moi ce truc :cry: