Probabilités TES

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Bonjour, je n'arrive pas à débuter cet exercice tiré des annales (Liban juin 2002)

Dans une entreprise, les salariés sont classés en deux catégories : cadres et employés.
Une entreprise emploie 30 cadres et 240 employés. Au cours de négociations
sur la réduction du temps de travail, dite RTT, on propose aux salariés trois formules :
- Formule no 1 : une RTT de 30 minutes par jour de travail,
- Formule no 2 : une RTT d'un vendredi après-midi sur deux,
- Formule no 3 : une RTT de 12 jours de travail par an.
Une enquête a été réalisée auprès de tous les salariés de l'entreprise, chacun remplissant
une fiche mentionnant son statut (cadre ou employé) et son choix de RTT.
On a obtenu les résultats suivants :
- Aucun cadre n'a choisi la formule no 1,
- Parmi les employés :
36 ont choisi la formule no 1,
99 ont choisi la formule no 2,
- 40% des salariés ont choisi la formule no 2.
On extrait, au hasard, la fiche d'un salarié. On notera :
C l'évènement « le salarié est un cadre »,
E l'évènement « le salarié est un employé »,
R1 l'évènement « le salarié a choisi la formule n° 1 »,
R2 l'évènement « le salarié a choisi la formule n° 2 »,
R3 l'évènement « le salarié a choisi la formule n° 3 ».

p(A) désigne la probabilité d'un évènement A et pB(A) celle de l'évènement A sachant
que l'évènement B est réalisé. Les probabilités seront données sous forme de
fractions irréductibles.
1. Déterminer les probabilités p(C) et p(E).
2. Parmi les probabilités p(R1;)C), p(R1;)E), p(R2;)E), pE(R1), pE(R2), p(R2)
indiquer celles qui correspondent aux quatre résultats du sondage et donner
leur valeur numérique.
3. a. Calculer la probabilité que le salarié soit un cadre ayant choisi la formule
no 2.
b. Démontrer que la probabilité que le salarié ait choisi la formule no 2,
sachant qu'il s'agit d'un cadre, est 3/10
.
4. Calculer la probabilité p(R1), puis la probabilité p(R3).


Comment faire pour déterminer p(C) et p(E) ? MERCI

[armor92]

Bonsoir,

1.
Il y a 30 + 240 = 270 salariés.
Il y a 30 cadres sur 270 salariés. La probabilité de tirer une fiche de cadre est de 30/270
P(C) = 30 / 270 = 1 / 9
Il y a 240 employé sur 270 salariés. La probabilité de tirer une fiche d'employé est de 240/270
P(E) = 240 / 270 = 8 / 9

[armor92]

2.
R1;)C est l'évenement : on a tiré une fiche d'un cadre ayant choisi la formule n°1.
Aucun cadre n'a choisi la formule no 1 donc :
P(R1;)C) = 0

R1;)E est l'évenement : on a tiré une fiche d'un employé ayant choisi la formule n°1.
36 employés ont choisi la formule n°1 donc :
P(R1;)E) = 36/270 = 2/15

R2;)E est l'évenement : on a tiré une fiche d'un employé ayant choisi la formule n°2.
99 employés ont choisi la formule n°2 donc :
P(R2;)E) = 99/270 = 11/30

PE(R1) est la probabilité que l'on aie tiré une fiche de formule n°1 sachant qu'on a tiré une fiche d'employé.
Ce n'est pas dans les résultats du sondage.

PE(R2) est la probabilité que l'on aie tiré une fiche de formule n°2 sachant qu'on a tiré une fiche d'employé.
Ce n'est pas dans les résultats du sondage.

P(R2) est la probabilité qu'on aie tiré une fiche de formule n°2.
40% des salariés ont choisi la formule no 2 donc :
P(R2) = 40/100 = 2/5

[armor92]

3. a.
On cherche la probabilité de l'évenement R2;)C.

P(R2) = P(R2;)C) + P(R2;)E).
P(R2;)C) = P(R2) - P(R2;)E) = 2/5 - 11/30 = 1/30

3. b.
On cherche à calculer PC(R2).
Par définition du cours :
PC(R2) = P(R2;)C)/P(C) = (1/30)/(1/9) = 9/30 = 3/10

[armor92]

4.
P(R1) = P(R1;)C) + P(R1;)E) = 0 + 2/15 = 2/15
On sait que :
P(R1) + P(R2) + P(R3) = 1

On a déjà calculé P(R1) et P(R2).

P(R3) = 1 - P(R1) - P(R2) = 1 - 2/15 - 2/5 = 7/15