Probabilites Tes

[stephane61]

Bonjour,

J'ai un dm à rendre et je bloque sur la dernière question. Pouvez-vous m'expliquer et regarder si le reste vous semble bon svp ?

Exercice 1

Une enquête a été réalisée auprès des élèves inscrits à la demi-pension d'un lycée. Les résultats révèlent que :

=>95% des élèves déclarent manger régulièrement à la cantine et parmi ceux-ci 70% sont satisfaits de la qualité des repas
=>20% des élèves qui ne mangent pas régulièrement sont satisfaits de la qualité des repas.

On choisit un élève au hasard parmi les élèves inscrits à la demi-pension.
On note les évènements suivants :
R l'évènement : "l'élève mange régulièrement à la cantine"
S l'évènement : "l'élève est satisfait"
On notera contraire de R et contraire de S les évènements contraires de R et S.

1) Construire un arbre pondéré décrivant la situation


http://imagesia.com/maths-004_12cr3


2) Calculer la probabilité que l'élève mange régulièrement à la cantine et soit satisfait de la qualité des repas.

P(R inter S)= 0.95*0.7=0.665

La probabilité que l'élève mange régulièrement à la cantine et soit satisfait de la qualité des repas est de 0.665

3)Montrer que la probabilité de l'évènement S est égale à 0.675

P(S)= P(R inter S) + P (contraire de R inter S)
P(S)= 0.665+0.05*0.2
P(S)= 0.665+0.01
P(S)= 0.675

4)Sachant que l'élève n'est pas satisfait de la qualité des repas, calculer la probabilité qu'il mange régulièrement à la cantine. Donner le résultat arrondi à 10^-3.

P(contraire de S) = 1- P(S)
P(contraire de S)= 1-0.675
P(contraire de S)= 0.325

P contraire de S (R)= P(contraire de S inter R)/ P (contraire de S)
P contraire de S (R)= (0.3*0.95)/0.325
P contraire de S (R)= 0.285/0.325
P contraire de S (R)= environ 0.877

La probabilité que l'élève mange régulièrement à la cantine sachant qu'il n'est pas satisfait de la qualité des repas est de environ 0.877.


5) On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves inscrits à la demi-pension.
On note X la variable aléatoire égale au nombre d'élèves déclarant être satisfaits de la qualité des repas. Le nombre d'élèves étant suffisamment grand, on considère que X suit une loi binomiale. Les résultats seront arrondis au millième.

a) préciser les paramètres de cette loi binomiale.

X suit la loi binomiale de paramètres B(4;0.675)

b)Calculer la probabilité de l'évènement A :"les quatre élèves sont satisfaits de la qualité des repas"

P(X=4) = (4 parmi 4) * 0.675^4 * (1-0.675)^4-4
P(X=4)= 1*0.208*1
P(x=4)= environ 0.208
Donc P(A)= environ 0.208
Pouvez-t'on mettre directement le résultat à l'aide la calculatrice ou il faut mieux écrire cette formule?

c)Décrire à l'aide d'une phrase l'évènement contraire de A et calculer sa probabilité.

Contraire de A l'évènement : "les quatre élèves ne sont pas satisfaits de la qualité ds repas"

C'est l'évènement contraire de A donc p(contraire de A)= 1-0.208=0.792

6) On sait que parmi les élèves inscrits dans l'établissement 45% sont des garçons, et que parmi les garçons 1/3 est inscrit en classe en terminale.
On interroge successivement et de façon indépendante 8 élèves pris au hasard parmi les élèves du lycée. (un élève peut être interrogé plusieurs fois de suite). Calculer la probabilité que parmi ces 8 élèves au moins 2 soient des garçons inscrits en classe de terminale.

Voilà ce que j'ai essayé de faire mais je pense que mes réponses sont fausses :

J'ai d'abord essayé de faire un arbre :

G l'évènement "l'élève est un garçon"
T l'évènement "l'élève est un garçon inscrit en terminale

http://imagesia.com/maths-006_12cr4

Puis je me suis dit : X suit la loi binomiale de paramètres b (8;0.45)

P(X>ou =2)=1-P(X=1)
= 1-0.0548
= 0.9452

La probabilité que parmi les 8 élèves au moins 2 soient des garçons inscrits en classe de terminale est de 0.9452

Merci d'avance à ceux qui pourront m'aider car j'ai déjà posté 2 autres exercices avec des probabilités qui sont restés sans réponse.

[JP31]

C'est à nouveau JP

Pour tes réponses:
-1, 2, 3 et 4 sont correctes pour moi
-5 a) c'est correct, 5b) le raisonnement est correct (probabilité loi binomiale),mais il y a une erreur de calcul car (0,625)^4=0.1525...
-5 c) c'est idem le raisonnement est bon mais le calcul est faux car ton calcul dépend du 5 b)
-6) Pour moi je pense que tu dois d'abord calculer la probabilité qu'un élève pris au hasard soit un garçon et en terminal: c'est à dire en terme de probabilité P(G et T) en notant G si c'est un garçon et T s'il est en terminal.
pour calculer cette probabilité, il faut utiliser la probabilité conditionnelle P(T sachant G)=1/3; je te laisse déduire le reste car il suffit d'utiliser la formule de probabilité conditionnelle que tu dois connaître et P(G)= 0,45 pour en déduire P(G et T).
Une fois que tu as P(G et T), sachant qu'un même élève peut être interrogé plusieurs fois, on retombe a nouveau dans la loi binomiale B(8,P(G et T)) avec la variable aléatoire X= un élève est en terminal et est un garçon. Par simple application de ta formule de probabilité binomiale tu peux en déduire la réponse à ta question.

A+

JP

[stephane61]

Bonsoir et merci d'avoir pris le temps de regarder mes exercices. N'ayant pas eu de réponses je croyais ne plus en avoir : c'est vraiment gentil.
Pour la 5 c) je comprends pas j'ai refait le calcul et pour 0.675^4 je trouve toujours 0.20759... arrondi au millième donc 0.208. Pourquoi c'est pas bon ? Comment avez-vous trouver 0.1525 ?

Pour la question 6) en fait si je comprends bien l'arbre que j'avais fait était bon alors ?

Cela ferait :

probabilité de T sachant G = P (G inter T)/P(G)
=>p (G inter T) = 0.45*1/3=0.15

Probabilité de T sachant G = 0.15/0.45=0.33

Ensuite X suit la loi binomiale de paramètres B (8;0.33) ?

Puis p(X>ou =2)=1-p(x=1)
P(x=1)=0.16 (avec calculatrice)

p(x>ou=2)=1-0.16=0.84 ?

Bon tout ça ? la probabilité que l'élève soit un garçon et en terminale est de 0.84

Merci d'avance pour réponse

[JP31]

Bonjour Stéphane,

Excuse moi pour le calcul du 5 b) :( c'est bien toi qui a raison. j'ai été un peu rapide et confondu 0.625 avec 0.675.

Pour la question 6) ce qui nous intéresse c'est p=P(G inter T) ce qui signifie la probabilité que l'élève soit un garçon et en terminale. Donc pas besoin d'aller plus loin p=0,15.
Pour moi il faut utiliser la loi B(8;0,15)
et donc P(X=2)= C8,2x(0,15)^2x(1-0.15)^6=0,237
Je pense que ce résultat doit être OK

A+

JP

[stephane61]

Bonjour et merci d'être revenu voir mes exercices! Ok j'ai compris :)

Par contre le fait que ce soit marqué "au moins 2 élèves" ça ne change rien ? C'est pour ça que j'avais calculer p(x>ou =2)=1-p(x=1)

Pour QCM et l'exercice avec le loto ce que j'ai fait est bon après vos explications d'hier soir?

[JP31]

Oups décidément, mille excuses tu as raison :( j'ai encore lu trop vite et remplacé "au moins 2 élèves" par "2 élèves" ce qui change tout.
A deux on va y arriver ;)

finalement ton raisonnement est le bon mais tu oublie un terme:
P(X>=2)=1-P(X=1)-P(X=0)=1-C8,0(0,15)^0x(0,85)^8-C8,1x(0,15)^1x(0,85)^7=0,3428..

Cette fois je pense qu'on est bon.

A+

JP

[stephane61]

Ok merci. J'ai un peu honte car je sais que je suis long à comprendre :( mais je comprends pas pourquoi on fait 1-p(x=1)-p(x=0) ? J'aimerai comprendre pour le prochain ds.

[JP31]

Bonsoir stephane61,

Pas de pb pour l'explication et puis à voir ce que tu fais je pense que tu te débrouilles très bien. Et puis tout le monde a besoin d'explications pour bien cerner et comprendre les choses; le reste c'est du travail et des exos.

Les hypothéses de l'exercice nous donnent:
- Lorsqu'on choisi un élève au hasard dans la cours, le fait qu'il soit "un élève en terminale et un garçon" ou "le contraire" est une épreuve dite de Bernouilli ou l'expérience n'a que 2 résultats possibles et la variable aléatoire X associée à cette épreuve ne peut prendre que 2 valeurs:
-X=1 l'élève est en terminale et il est un garçon, ce résultat a pour probabilité p=P(T"inter"G)=P(G)xP(T/G) que tu as calculé.
-X=0 l'élève n'est pas en terminale ou il n'est pas un garçon (qui est le contraire de T"inter"G), ce résultat a pour probabilité 1-p

- On répète 8 fois la même expérience (de Bernouilli), on est donc dans le cas d'une loi binomiale B(8,p). De plus, le fait de pouvoir interroger à nouveau le même élève permet de ne pas modifier la probabilité p , ce qui ne serait pas le cas si l'élève ne pouvait pas être réinterroger. Pour cette nouvelle expérience on a 9 résultats possibles:
- X=0 parmi les 8 élèves interrogés aucun n'est un garçon en terminal alors P(X=0)=C8,0x(p^0)x(1-p)^8=(1-p)^8
- X=1 parmi les 8 élèves interrogés 1 seul élève est un garçon en terminal alors P(X=1)=C8,1x(p^1)x(1-p)^7
etc
......
......
.....
- X=8 parmi les 8 élèves interrogés les 8 élèves sont des garçons en terminal alors P(X=1)=C8,8x(p^8)x(1-p)^0=p^8

Finalement, on a 9 résultats ou issues possibles pour cette expérience.

Maintenant la question est:

"Calculer la probabilité que parmi ces 8 élèves pour qu'au moins 2 soient des garçons en terminale"
C'est a dire la probabilité pour pour que la variable aléatoire 2<=X<=8
soit calculer P(2<=X<=8)

Réponse :

P=P(2<=X<=8) comme X est une variable discrète on a P=P((X=2)U(X=3)U(X=4)U(X=5)U(X=6)U(X=7)U(X=8)) comme les événements X=i i=2,3,..,8 sont deux à deux incompatibles c'est à dire qu'ils ne peuvent pas avoir lieu conjointement alors
P=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8) à partir de là, on voit que le calcul est assez fastidieux et long a effectuer et qu'il est plus facile de calculer la probabilité contraire soit
P(contraire(2<=X<=8))=1-P(X<2)=1-P((X=0)U(X=1))=1-P(X=0)-P(X=1) (X=0 et X=1 sont incompatibles l'un avec l'autre soit on trouve X=0 soit X=1 comme expliqué précédemment)

D’où le résultat.

Je te souhaite une excellente reprise.

A+

JP31

[stephane61]

Rebonsoir et c'est pareil que si on avait mis :

p(<2)=p(x=0)+p(x=1)
=0.272+0.385 (trouvé avec calculatrice)
=0.657

donc

p(x>ou=2)=1-p(x<2)
=1-0.657
=0.343 (en arrondissant)

?

[JP31]

Bonsoir Stephane61,

oui tu as raison les 2 expressions sont effectivement correctes d'ailleurs on sait aussi que

1=P((X=0)U(X=1)U(X=2)U(X=3)U(X=4)U(X=5)U(X=6)U(X=7)U(X=8))=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)
d'ou
P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)=1-P(X=0)-P(X=1)=P(X>=2)

Voilà je pense que tu sais presque tout sur la loi binomiale B(n,p)
Et les questions sont en général toujours les même du style:
1) Calculer la probabilité P pour qu'au moins k (avec 0<=k<=n) issues soient vraies c'est à dire P(X>=k)=1-P(X2) Calculer la probabilité P pour qu'au plus k (avec 0<=k<=n) issues soient vraies c'est à dire P(X<=k)=1-P(X>k)= somme [p(X=i)] pour 0<=i<=k
3) Calculer la probabilité P pour qu'au plus k (avec 0<=k<=n) issues soient vraies et qu'au moins k' (avec 0<=k'<=n et k'<=k) soient vraies c'est à dire P(k'<=X<=k)=1-P(X>k)-P(Xect ...

Tu peux multiplier à loisir les énoncés, une fois que tu as bien compris le fonctionnement de la loi binomiale, il n'y a plus de soucis; il suffit juste de bien traduire l'énoncé de l'exercice en calcul de probabilité.

Bonne soirée

JP31