Probabilités

[KLM]

Bonjour à tous.
J'ai un petit exo sur les probabilités à résoudre. La solution me semble évidente, mais comment la démontrer proprement ?

On joue à un jeu de Pile ou Face.
Si on tombe sur pile ------> on obtient le double de notre mise
Si on tombe sur face ------> on perd notre mise

Martin possède 1000€, il commence par miser 1 € , double sa mise tant qu'il perd et ne s'arrête que s'il gagne ou ne peut plus miser.

a° Proposer une simulation de ce jeu.
b° Calculer l'espérance de gain de Martin.

Un exemple de simulation.

Martin commence par miser 1 euro. Il tombe sur face, il perd donc sa mise de 1 euro.
Il double ensuite sa mise, ainsi il propose 2 euros, il tombe malheureusement encore sur face, il perd donc ses 2 euros.
N'étant pas très chanceux, lorsqu'il mise 4 euros, il tombe encore sur face, ainsi il perd ses 4 euros à nouveau.
Lors de sa 3ème mise de 8 euros, par chance il tombe sur pile, il gagne donc comme promis il gagne le double de sa mise soit 16 euros.

Ainsi, il a miser 1 euro + 2 euros + 4 euros + 8 euros = 15 euros. Il a donc perdu 15 euros, mais a gagner 16 euros, ce qui fait un bénéfice de 1 euro.

Belle simulation de ma part ? lol

b° L'espérance est donnée par la formule E= Somme des pi*xi mais ici, je vois bien que l'espérance sera toujours de 1 euro avec n'importe quelles valeurs, mais comment le démontrer proprement ?

[gigamesh]

Bonjour,
pour le b) tu dis que quand le jeu s'est arrêté au bout de n lancers, Trucmuche a misé au dernier coup, donc gagne , et a dépensé en tout donc son gain net est ..., qui est indépendant de n.

du coupet la somme desest la somme des, qui vaut 1.

[KLM]

Je ne suis pas d'accord, au bout du premier lancer Martin n'a pas misé 2^1 mais 2^0 euro, ce ne serai pas 2^ n-1 ? Et j'ai pas TB compris la suite de ton raisonnement

[gigamesh]

Oui,
je me suis trompé pour n, c'est n-1.

Pour la suite (c'est le cas de le dire),
j'ai utilisé (somme des termes d'une suite géométrique).

[KLM]

Merci mais j'ai toujours pas compris l'étape d'après le 1-q^n+1 / 1- q, tu dis du coup xi= 1 ? Pourquoi ? Comment simplifier l'expression 1-q^n+1 / 1- q et la rendre indépendante de n ?

Et surtout pourquoi xi=1 ?

[KLM]

Alors ? quelqu'un svp?