Probabilité

par **Esturgeon** » 30 Mai 2009, 09:05

Bonjour, je suis en 1ière et nous avons commencé en classe à étudier les probabilités. Indépendament de cela je me pose quelques questions.
Nous avons un jeu de cartes de 60 cartes, parmis lequel 18 cartes A et 42 cartes B.
On m'élange le jeu.
Première question :
On pioche une carte. On a alors frac{18}{60} de probabilité d'obtenir une carte A. La carte que nous avons piochée est une carte A.
On en pioche une deuxième. A-t-on frac{17}{59} comme probabilité d'obtenir une carte A (puisqu'il n'y a plus que 17 cartes A sur 59 cartes) ou alors toujours frac{18}{60} (puisque nous n'avons pas mélangé le jeu entre les deux tirages,pourquoi la deuxième carte qui avait au début frac{18}{60} d'être une carte A aurait-elle maintenant une autre probabilité d'en être une?).

Deuxième question :
Je cherche à calculer la probabilité que dans 7 cartes piochées (toujours sans mélanger après chaque tirage), il y en ait exactement 2 qui soient des cartes A.
Il faut obligatoirement que l'on pioche 2 cartes A.
Admettons que les 5 premières cartes piochées soient des cartes B et les deux dernières dans cartes A.
On a frac{42*41*40*39*38*18*17}{60*59*58*57*56*55*54) = p d'obtenir ce tirage. Cela fait 1.6%
On voit que ce calcul est vrai ou faux suivant la réponse à ma première question.
Seulement voila, si on inverse n'importe comment l'ordre dans lequel on pioche les cartes (et toujours en piochant seulement 2 cartes A), il y a (7!) possibilitées. Je multiplie donc le nombre trouvé par 7!, ce qui donne 80.8. Pour une probabilité, ce n'est pas possible puisqu'on aurait 8080% d'avoir deux cartes A sur 7 piochées...
Pouvez-vous m'aider à trouver l'erreur svp?

par **Esturgeon** » 30 Mai 2009, 19:46

Snif personne qui veut s'y coller :(

par **Sa Majesté** » 30 Mai 2009, 19:53

Pour ta 1ère question, c'est toute la différence entre un tirage avec remise et un tirage sans remise
Si le tirage est avec remise (on remet la carte dans le jeu) alors la proba de tirer une carte A est 18/60
Si le tirage est sans remise (on ne remet pas la carte dans le jeu) alors la proba de tirer une carte A est 17/59

par **Esturgeon** » 31 Mai 2009, 08:26

Ok merci pour ta réponse.

par **Esturgeon** » 02 Juin 2009, 05:02

Et pour la deuxième, personne n'a une idée?

par **Quidam** » 02 Juin 2009, 08:40

Esturgeon a écrit: Seulement voila, si on inverse n'importe comment l'ordre dans lequel on pioche les cartes (et toujours en piochant seulement 2 cartes A), il y a (7!) possibilitées.

L'erreur est là !

Lorsque tu calcules : 42*41*40*39*38*18*17, tu comptes en fait le nombre de façons de choisir 7 cartes dont la première est une carte A et la deuxième est une carte B. Numérotons les cartes de 1 à 18 pour les cartes A et de 19 à 60 pour les cartes B. En faisant ce compte, tu considères que le tirage :
1-2-19-20-21-22-23
est différent du tirage
2-1-20-19-21-22-23
par exemple.
C'est à dire que tu as déjà pris en compte le fait que l'ordre des tirages peut être différent !
Or, les possibilités que tu n'as pas comptées encore sont celles où les deux cartes A ne sont pas aux premier et deuxième rangs.
Si l'on considère par exemple la configuration 1-2-19-20-21-22-23, tu n'as pas encore pris en compte les configurations voisines :
1-19-2-20-21-22-23
1-19-20-2-21-22-23
1-19-20-21-2-22-23
1-19-20-21-22-2-23
1-19-20-21-22-23-2
ni les configurations :
19-1-2-20-21-22-23
19-1-20-2-21-22-23
19-1-20-21-2-22-23
19-1-20-21-22-2-23
19-1-20-21-22-23-2 :

etc...

Donc ton nombre 42*41*40*39*38*18*17, ce n'est pas par (7!) que tu dois le multiplier, c'est seulement par le nombre de façons de choisir deux rangs entre 1 et 7 où placer les cartes A.
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7)
(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7)
(3,4),(3,5),(3,6),(3,7)
(4,5),(4,6),(4,7)
(5,6),(5,7)
(6,7)
Il y a 21 façons de choisr deux rangs (non ordonnés)

La probabilité cherchée est donc :

P.S. La deuxième erreur, c'est l'orthographe "possibilitées". Moi j'écrirais ça plutôt "possibilités". Mais cela n'a que peu d'influence sur ton calcul de probabilité !

par **Esturgeon** » 02 Juin 2009, 19:23

Merci pour ton explication

. J'ai une autre façon d'expliquer (pour ceux que ça interesse) qui revient à dire pareil que toi mais que je pense mieux comprendre. Cela clarifiera d'ailleur les choses pour moi.

Alors.
Voyons voir.
Heuuuu (quel brouillage de cerveau ce truc...)

Je reprend la notation que tu as faite pour nommer les cartes.
Admettons que l'on fasse le tirage (A)11-(A)16-(B)40-(B)25-(B)36-(B)28-(B)21.
Il y a 7! façons d'ordonner ce tirage en tenant compte de la position de chaque carte, mais

façon de l'ordonner en se disant que si on inverse les positions par exemple de (A)11 et de (A)16 ou encore d'une carte B avec une autre carte B cela sera considéré comme le même tirage. Ce qui est notre cas. Le 2 et le 5! viennent du fait qu'il y a 5cartes B et 2 cartes A.
Pour mieux comprendre ce passage : http://fr.wikipedia.org/wiki/Combinatoire#Permutations_sans_r.C3.A9p.C3.A9tition_d.27objets_discernables.

Maintenant.
La probabilité

peut correspondre à celle de faire le tirage (A)11-(A)16-(B)40-(B)25-(B)36-(B)28-(B)21 mais aussi à la probabilité de faire n'importe quel autre tirage (précis, c'est à dire que toutes les cartes seraient différenciées) contenant 2 cartes A et 5 cartes B.

On multiplie donc celle probabilité par

=21. Cela nous donne 33.7% d'avoir deux cartes A en piochant 7 cartes au zazard.

Pour vérifier que cette méthode marche je calcule le pourcentage d'avoir 1 carte A sur 7 piochées, 3 cartes A sur 7, 4A sur 7, 5A sur 7 et enfin 6A sur 7.

Une carte A sur 7 : 24.45%
Deux cartes A sur 7 : 33.7%
Trois A sur 7 : 23.65%
Quatre A sur 7 : 9.10%
Cinq A sur 7 : 1.91%%
Six A sur 7 : 0.2%
Sept A sur 7 (gros chanceux) : 0.00824%
Et aussi aucune carte A sur 7 : 6.99%

En additionnant tout on tombe à 100%, donc je pense que tout est bon, fautes d'orthographe comprises

.
Merci encore, a+

Probabilité

Probabilité

Qui est en ligne