Probabilité ( seulement vérification )

[bioOo]

Bonjour à tous et à toutes. Voila j'ai un dm sur les probabilités, j'ai fais toutes les questions à par la i et la j) où je bloque un peu. Je vous poste un lien où j'ai hébergé le DM et ci joints mes réponses :

http://img208.imageshack.us/img208/9916/dmtp3.jpg

question a) :


Gain rouge : 10x * 1.8 (x appartenant a [0,1])

Gain bleu : ( 10 - 10x ) * 2.2


b)
10x * 1.8 = ( 10 - 10x ) * 2.2

18x = 22 - 22x

40x = 22

x = 22/40 =0.55

c)

Gains Rouge victoire : 10x*a

Gains Bleu victoire : (10-10x)*b

Gains rouge = gains bleu 10x*a =(10-10x)*b

10ax = 10b-10bx

10 ax +10bx = 10b

x(a+b) =b

x = b/(a+b)

x = b(a-b) / (a²-b²)

x = ( ab - b² ) / (a²-b²)

x= ab/(a²-b²) - b² / (a²-b²)


d) En pariant sur les deux camps :

-Soit on perd 10x euros et on gagne (10-10x)*b

-Soit on perd (10-10x) euros et on gagne 10ax

Pour que le jeu soit benefique il faut que la mise soit inférieure au gain

il faut donc que (10-10x)*b> 10x

et que 10ax>10-10x

par sommes d'inégalités : (10-10x)*b + 10ax > 10

10b-10bx + 10ax > 10

x(a-b) > 1-b
x > (1-b)/(a-b)

e)

Si le joueur gagne , le bookmaker perd 1 euros.

Si le joueur perd, le bookmaker gagne a euros.

=> le bénéfice du bookmaker est de X=1 en cas de defaite rouge et de X=-a en cas de victoire rouge

Le tableau :

Pi P( Victoire Rouge )=9/20 P( Victoire Bleue )=11/20

Xi -a 1



f) Par définition E(X ) = "Somme" Pi * xi = -9a/20 + 11/20

E(X ) = (-9a+11)/20



g) "le bookmaker veut que son espérance soit 1/100"

E(X ) = 1/100

mais E(X ) = (-9a+11)/20 (question précédente)

Donc E(X ) = E(X ) 1/100 = (-9a+11)/20

1 = -45a + 55

45a = 56

a = 56/45 = 1.24



il faut donc que le bookmaker mette une cote de 1.24 pour la victoire rouge




h) De la même maniere , on part du principe qu'un joueur parie une euro sur les bleus .

Par analogie de résonnement on obtient le tableau ci dessous :



Pi P( Victoire Rouge )=9/20 P( Victoire Bleue )=11/20

Xi 1 -b



D'ou E(X ) = (9-11b)/20 = 1/100

45 - 55b = 1

55b = 44

b= 44/55 = 4/5 = 0.8


il faut donc que le bookmaker mette une cote de 0.8 pour la victoire rouge

il faut donc que le bookmaker mette une cote de 0.8 pour la victoire bleue


i)Bon faut essayer de partir de :

- question c)

=> x = b/(a+b) ...

E(X ) = somme Pi xi ...
Mais je sais pas trop comment faire , je bloque aussi pour la j)

Merci d'avance.

[bombastus]

Bonjour, jusqu'au f je crois que c'est ok

je regarde la suite

[bioOo]

Merci 1000 fois bombastus de ta réponse, c'est un DM à rendre pour demain et là vraiment... j'y arrive vraiment pas pour le i et j. J'espère que le g et h sont bon.

[bombastus]

Pour la b, tu as oublié de donner la valeur du gain...

g) -> ok

h) -> je ne vois pas pourquoi tu as mis :
il faut donc que le bookmaker mette une cote de 0.8 pour la victoire rouge

il faut donc que le bookmaker mette une cote de 0.8 pour la victoire bleue

sinon le calcul est bon

pour la i, je vois pas encore le rapport avec les questions b et c...

[bombastus]

Et pour la c aussi, c'était les gains qu'il fallait mettre sous la forme d'une somme de fraction et pas le pourcentage...

[bioOo]

donc pour la b) et c) on a ? Je t'avourai que je suis un peu perdu.

pour la h) ok, faute d'innatention surement.

Pour la i et j, bloque toujours, j'espère qu'il y aura une solution d'ici là.

Merci encore bombastus !

[bioOo]

Tu es toujours là? Me laisse pas tomber please ^^.

[bombastus]

j'espère qu'il y aura une solution d'ici là.

Fallait poster avant, parce que là ça va être short,

d'autant que j'avais lu rapidement et que tu as oublié quelque chose en calculant le gain : il faut retirer la mise de départ :

question a) :


Gain rouge : 10x * 1.8 - 10x (x appartenant a [0,1])

Gain bleu : ( 10 - 10x ) * 2.2 -(10 - 10x)- (10-10x)


b)
10x * 1.8 -10x = ( 10 - 10x ) * 2.2 -(10-10x)
Après ça change le calcul pour x...



c)

Gains Rouge victoire : 10x*a -10x

Gains Bleu victoire : (10-10x)*b -(10-10x)

Gains rouge = gains bleu 10x*a -10x =(10-10x)*b -(10-10x)
Pareil, après le calcul change

[bioOo]

Désolé, c'est vrai. Mais il ne faut pas retrancher 10 car c'est les gains pas les bénéfices non?

[bombastus]

Et bien là, les bénéfices sont les gains : Si tu paries 10x sur les rouges, tu vas gagner 10xa, et comme dans l'exemple de l'énoncé, tu dois retirer la mise de départ (soit 10x).

[bombastus]

A non, tu as peut etre raison, il faut retirer 10, car tu joues forcément 10 euros... dans ce cas là tes calculs ne change pas pour x.

[bombastus]

Donc pour la b, tu obtiens x = 22/40 =0.55,

donc il faut calculer le gain commun : 10x1,8-10

[bombastus]

Pour la c, tu obtiens :
x = b/(a+b)

Et il faut calculer le gain commun en remplaçant x : 10xa-10
et le mettre sous la forme demandée dans l'énoncé

Pour la d, il faut que ce gain soit positif (>0).

Toujours là?

[Huppasacee]

Bonsoir

Pour le gain commun, il est acquis pour x = b/(a+b)
comme cela a été dit

Le gain est alors ab/(a+b)

Si ce gain est supérieur à 1 , on est sûr de gagner plus qu'on ne mise en choisissant le x calculé ci dessus

pour j : Le bénéfice estimé par le bookmaker tiendra compte des stratégies des joueurs, aussi je pense que son bénéfice estimé est
1 - ab/(a + b)

[bioOo]

Je suis toujours là, le DM est à rendre à 14h30.

Pour la question d) j'écris simplement : il faut que ce gain soit positif (>0) ?

Vous avez une idée pour la i ) ?

Merci de votre participation.

[bombastus]

En fait ça dépend... de la manière dont tu as traité la b et la c, même si le résultat sera le même. Perso je trouve que l'énoncé n'est pas clair, mais là n'est pas le sujet.

Dans tous les cas on a :
x = b/(a+b),

Ensuite le gain commun est soit :
- méthode Huppasacee :
gain commun : ab/(a+b) - c'est le gain sans considérer la mise de départ.
Donc on a ensuite :

Si ce gain est supérieur à 1 , on est sûr de gagner plus qu'on ne mise en choisissant le x calculé ci dessus (question d) -> donc ab/(a+b)>1

pour j : Le bénéfice estimé par le bookmaker tiendra compte des stratégies des joueurs, aussi je pense que son bénéfice estimé est
1 - ab/(a + b)

Ou la mienne (en tenant compte de la mise de départ)
- gain commun : 10ab/(a+b)-10
Et dans ce cas le gain doit être supérieur à 0 :
10ab/(a+b)-10>0
10ab/(a+b)>10
Donc ab/(a+b)>1
--> même résultat que plus haut

Et pour la j, je suis d'accord avec Huppasacee

[bioOo]

Ok pour les gains commun de c. J'vais opter l'une de vos deux solutions.

Par contre pour la b) quand tu m'dis tu calculer les gains commun

donc il faut calculer le gain commun : 10x1,8-10

J'ai pas trop compris..

Pour la j), l'énoncé nous demande, d'essayez d'établir des pronostics chiffrés sur l'identité du prochain président des US. Ce n'est pas ce que Huppasacee a proposé si?

Pour la question i, t'as toujours pas d'idée?

Merci encore !

[bombastus]

Pour la b, tu trouves : x = 22/40 =0.55

Donc c'est la valeur de x pour laquelle les gains sont les mêmes, donc c'est le pourcentage (0.55=55%) que tu paries sur les rouges (soit 0.45=45% sur les bleus). Dans la question b, il te demande de calculer ce gain commun :
Donc si le gain est : 10*x*1.8 - 10
Le gain commun est 10*0.55*1.8 - 10

[bombastus]

Pour la j), l'énoncé nous demande, d'essayez d'établir des pronostics chiffrés sur l'identité du prochain président des US. Ce n'est pas ce que Huppasacee a proposé si?

Non en fait la réponse de Huppasacee, c'est pour la i, pas pour la j

[bioOo]

Ok ok !

Bon, je fais un récapitulatif de toutes les réponses pour être sûr que c'est ça ( omis la question j, qu'on arrive pas à trouver ) :

question a) :


Gain rouge : 10x * 1.8 (x appartenant a [0,1])

Gain bleu : ( 10 - 10x ) * 2.2


b)
10x * 1.8 = ( 10 - 10x ) * 2.2

<=> 18x = 22 - 22x

<=> 40x = 22

<=> x = 22/40 =0.55 ( c'est la valeur de x pour laquelle les gains sont les mêmes, donc c'est le pourcentage (0.55=55%) que tu paries sur les rouges (soit 0.45=45% sur les bleus) )

calcul gain commun :

Donc si le gain est : 10*x*1.8 - 10
Le gain commun est 10*0.55*1.8 - 10

c)

Gains Rouge victoire : 10x*a

Gains Bleu victoire : (10-10x)*b

Gains rouge = gains bleu <=> 10x*a =(10-10x)*b

<=> 10ax = 10b-10bx

<=> 10 ax +10bx = 10b

<=> x(a+b) =b

<=> x = b/(a+b)


Ensuite le gain commun est soit :

gain commun : ab/(a+b) - c'est le gain sans considérer la mise de départ.

Donc on a ensuite :

Si ce gain est supérieur à 1 , on est sûr de gagner plus qu'on ne mise en choisissant le x calculé ci dessus (question d) -> donc ab/(a+b)>1

Ou (en tenant compte de la mise de départ)
gain commun : 10ab/(a+b)-10
Et dans ce cas le gain doit être supérieur à 0 :
10ab/(a+b)-10>0
10ab/(a+b)>10
Donc ab/(a+b)>1
--> même résultat que plus haut

d)Comme on l'a écrit plus haut, il faut que ce gain soit positif ( >0 )

e)

Si le joueur gagne , le bookmaker perd 1 euros.

Si le joueur perd, le bookmaker gagne a euros.

=> le bénéfice du bookmaker est de X=1 en cas de defaite rouge et de X=-a en cas de victoire rouge

Le tableau :

Pi P( Victoire Rouge )=9/20 P( Victoire Bleue )=11/20

Xi -a 1



f) Par définition E(X ) = "Somme" Pi * xi = -9a/20 + 11/20

E(X ) = (-9a+11)/20



g) "le bookmaker veut que son espérance soit 1/100"

<=> E(X ) = 1/100

mais E(X ) = (-9a+11)/20 (question précédente)

Donc E(X ) = E(X ) <=> 1/100 = (-9a+11)/20

<=> 1 = -45a + 55

<=> 45a =54

<=>a = 54/45 = 1.2



il faut donc que le bookmaker mette une cote de 1.2 pour la victoire rouge




h) De la même maniere , on part du principe qu'un joueur parie une euro sur les bleus .

Par analogie de résonnement on obtient le tableau ci dessous :



Pi P( Victoire Rouge )=9/20 P( Victoire Bleue )=11/20

Xi 1 -b



D'ou E(X ) = (9-11b)/20 = 1/100

<=> 45 - 55b = 1

<=> 55b = 44

<=>b= 44/55 = 4/5 = 0.8


il faut donc que le bookmaker mette une cote de 1.2 pour la victoire rouge

il faut donc que le bookmaker mette une cote de 0.8 pour la victoire bleue



i)Le bénéfice estimé par le bookmaker tiendra compte des stratégies des joueurs, aussi je pense que son bénéfice estimé est 1 - ab/(a + b)

j) ????