Probabilité de A sachant B

[L3CTRO]

Bonjour,

Si deux évènements A et B sont indépendants, alors P(A\B) = P(A), ce qui me parait évident car si B est réalisé, la probabilité que l'évènement A se produise ne varie pas : B n'a pas d'influence sur A.

Jusque là tout va bien.

C'est la propriété suivante qui me gène un peu plus : deux évènements A et B sont indépendants si et seulement si P(AnB) = P(A) x P(B).
J'arrive à comprendre la première formule, mais celle-ci, je n'arrive pas à me la représenter.
Par exemple, j'imagine un évènement A : La pluie tombe, et un évènement B : Un chien aboie. A et B ne sont pas liés. Imaginons que P(A) = 1/8 et P(B) = 1/8.
P(AnB), pour moi rien ne dit que P(AnB) est forcément égal à 1/64...

Pouvez-vous m'éclairer ? Merci d'avance.

[chan79]

Bonjour,

Si deux évènements A et B sont indépendants, alors P(A\B) = P(A), ce qui me parait évident car si B est réalisé, la probabilité que l'évènement A se produise ne varie pas : B n'a pas d'influence sur A.

Jusque là tout va bien.

C'est la propriété suivante qui me gène un peu plus : deux évènements A et B sont indépendants si et seulement si P(AnB) = P(A) x P(B).
J'arrive à comprendre la première formule, mais celle-ci, je n'arrive pas à me la représenter.
Par exemple, j'imagine un évènement A : La pluie tombe, et un évènement B : Un chien aboie. A et B ne sont pas liés. Imaginons que P(A) = 1/8 et P(B) = 1/8.
P(AnB), pour moi rien ne dit que P(AnB) est forcément égal à 1/64...

Pouvez-vous m'éclairer ? Merci d'avance.

Slt
Un exemple
on lance en même temps un pièce de monnaie et un dé normal non pipé
Quelle est la proba d'obtenir face ET 2 ?

[Sylviel]

Prenons deux pièces (équilibrées) que l'on lance. 4 cas possibles :
PP PF
FP FF

où la première lettre indique que si c'est un Pile ou un Face qui est sortie sur la première pièce et la seconde correspond à la seconde lettre.

Ainsi la première ligne correspond au Pile de la première pièce, la première colonne au Pile de la seconde pièce.

Si tu consdères l'évènement A : "La première pièce sors un Pile" tu as une chance sur deux. Pour être plus précise tu as 2 cases (la première ligne) sur 4.
Si tu considères l'évènement B : "La seconde pièce sors un Pile" tu as une chance sur deux aussi.

L'évènement AnB est "La première pièce sors un Pile ET La seconde pièce sors un Pile" : tu n'as plus qu'une case sur 4.

Est-ce un peu plus clair ainsi ?

Il faut que le premier évènement A se produise : probabilité P(A). Et une fois cela fait il faut que le B se produise probabilité P(B). A chaque fois tu multiplie.

[Luc]

Salut,

Bonjour,

Si deux évènements A et B sont indépendants, alors P(A\B) = P(A), ce qui me parait évident car si B est réalisé, la probabilité que l'évènement A se produise ne varie pas : B n'a pas d'influence sur A.

En fait c'est un peu plus compliqué que ça : B n'a pas d'influence sur la probabilité de A. Cependant, l'évènement A dépend en général de B (au sens de la vie de tous les jours), même quand A et B sont indépendants (au sens des probabilités). Petit exemple :
Tirons un pile ou face, et appelons B l'évènement "pile".
Si B a lieu, je tire un second pile ou face; sinon, je jette un dé (à six faces, non biaisé).
Je définis l'évènement A comme "soit j'ai tiré deux piles, soit j'ai tiré 1,4 ou 6 au dé". L'évènement A, par sa définition, dépend de B. Il en est pourtant indépendant.
Pour cette raison, la notion d'indépendance développée en probabilités est beaucoup plus riche que le fait de "n'avoir rien à voir".

Jusque là tout va bien.

C'est la propriété suivante qui me gène un peu plus : deux évènements A et B sont indépendants si et seulement si P(AnB) = P(A) x P(B).

La formule P(AnB) = P(A) x P(B) se déduit algébriquement de la définition P(A\B) = P(A). A priori cela n'a rien d'évident car la première est symétrique en A et B et la seconde non. Mais par définition, P(A\B)=P(AnB)/P(B). Donc P(A)=P(AnB)/P(B)

[L3CTRO]

Merci pour vos réponses, et plus particulièrement l'explication avec les deux pièces. Celle-ci permet à la formule de s'expliquer d'elle même.
Merci encore.