Probabilité - QCM bac 2017

[pascal16]

Bonjour, j'ai regardé le sujet 'centre étranger' du bac, première question (posée le 13 juin, a du les mettre en forme) :

On étudie la production d’une usine qui fabrique des bonbons, conditionnés en sachets.
On choisit un sachet au hasard dans la production journalière. La masse de ce sachet, exprimée en gramme, est modélisée par une variable aléatoire X qui suit une loi normale d’espérance µ = 175. De plus, une observation statistique a montré que 2 % des sachets ont une masse inférieure ou égale à 170 g, ce qui se traduit dans le modèle considéré par : P(X <= 170) = 0,02.

Question 1 : Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de l’évènement « la masse du sachet est comprise entre 170 et 180 grammes » ?
Réponse a : 0,04
Réponse b : 0,96
Réponse c : 0,98
Réponse d : On ne peut pas répondre car il manque des données.

Ceux qui sont en term S peuvent faire cet exercice très formateur qui au delà de simples calculs demande un recul et des connaissances assez fortes pour être fait. On pourra commencer à dire pour quoi c'est pas d puis la démarche à suivre sans la réponse.

[beagle]

euh je ne comprends pas la difficulté
la courge de Gauss est symétrique, so:
réponse immédiate non?

[pascal16]

On peut utiliser les symétries et l'événement contraire (donc 2 choses).
Le cas général plus général où par exemple on aurait µ = 178 est aussi faisable.

[beagle]

euh, on est à quasi 2 écarts-type, donc on aura écart-type et moyenne,
donc calculs ou estimation
(si QCM c'est à la louche les estimations, par élimination on devrait avoir une bonne idée, non?)

[pascal16]

perso, moi j'y vois un exercice faisable en entrainement.

calcul de l'écart - type.
on part de
avec les 2%, on retrouve l'équation qui donne

calcul direct
une fois qu'on a sigma, on retrouve tout ce que l'on veut

[Dlzlogic]

Bonjour Pascal,
Oui, bien-sûr, on peut calculer l'écart-type, mais sans table ou sans machine, je voudrais bien savoir comment vous faites.

[pascal16]

je ne pense pas que le bac S se fasse sans calculatrice cette année.

[beagle]

Ni sans table j'espère!
ok je sors, je sors...

[Dlzlogic]

Pardon si je suis d'une autre époque, mais si j'ai bien compris, connaissant la moyenne et le nombre d'écarts supérieurs à une certaine valeur, un calculatrice donne l'écart-type ? Par curiosité, quelle méthode est utilisée ?
Et dans le cas présent de l'exercice, quel écart-type donne la machine (calculatrice) ?

[pascal16]

En S, on fait des fois la mise en équation complète.

si X suit la loi normale de paramètres et alors
on part de suit la loi centrée réduite

sur la calculatrice, tu as justement la fonction inverse pour la loi normale centrée réduite

invNorm(0.02)=-2.0537...
ça te donne la valeur telle que p(Y< la valeur)< 0.02

Ca te donne une valeur de Y, on peut la remettre avec X et on remplace les valeurs connues


= 5/2.0537 = 2.4346 à 0.0001 près


On remarquera l'utilité des problème qui demandent "à combien de sigma on est de la moyenne" au collège.

[Dlzlogic]

Oui, d'accord, mais moi, je n'ai pas de calculatrice.
Ma question principale était "quelle méthode est utilisée ?".
D'autre part le nombre de chiffres significatifs, 5 en l'occurrence, me parait sans rapport avec les valeurs de l'énoncé.
Finalement, quelle est la bonne réponse a) b) ou c) ?

[leon1789]

bonsoir

Oui, d'accord, mais moi, je n'ai pas de calculatrice.

en effet, tu as un ordinateur a qui tu demandes de faire des simulations, plus ou moins correctement, et surtout sans aucune théorie de ta part. C'est justement cela que l'on veut éviter.

Finalement, quelle est la bonne réponse a) b) ou c) ?

C'est pourtant simple, sans aucun calcul, mais uniquement en sachant que la loi normale possède une fonction de masse symétrique par rapport à son espérance (cf la réponse de Beagle ! message #2).

La réponse de pascal16 (#3) propose un exercice moins évident, qui demande un calcul, en effet.

[Dlzlogic]

@ Léon,
Oui, j'ai un ordinateur, qui fait exactement ce que je lui demande pour la simple raison que c'est moi qui lui ai appris.
Si il fait une simulation incorrecte, effectivement cela ne peut être que de ma faute, mais sur quelle base te permets-tu de dire qu'elles ne sont pas toujours correctes ? as-tu des exemples, voire des preuves ?
Concernant la réponse à l'exercice, je suis parfaitement d'accord avec toi, la réponse est simple, Beagle l'a trouvée tout de suite, naturellement, mais mon intervention sur ce sujet s'adresse à Pascal et l'apparente complication qu'il apporte à cette question. Autrement dit, je ne comprends pas pourqui il complique les choses et je lui demande tout simplement.
En conclusion, ton intervention est parfaitement hors-sujet.

[Dlzlogic]

@ Pascal,
Il est bien évident que je saurais apprendre à ma machine comment calculer ce genre de chose. En fait, j'ai effectivement fait une fonction qui réalise cela. Ma question était : "Comment fait la calculatrice ?" si il y a une méthode que je ne connais pas, alors ça m'intéresse.
Je fais partie des vieux croutons qui ne confient à une machine qu'un calcul que je sais faire moi même.

[leon1789]

Si il fait une simulation incorrecte, effectivement cela ne peut être que de ma faute, mais sur quelle base te permets-tu de dire qu'elles ne sont pas toujours correctes ? as-tu des exemples, voire des preuves ?

hum... ça fait 7 ou 8 ans que tu montres sur tous les forums de maths que tu sais parfaitement faire des simulations fausses, sans même comprendre pourquoi. Des exemples, il y en a des dizaines !

Concernant la réponse à l'exercice, je suis parfaitement d'accord avec toi, la réponse est simple, Beagle l'a trouvée tout de suite, naturellement, mais mon intervention sur ce sujet s'adresse à Pascal et l'apparente complication qu'il apporte à cette question. Autrement dit, je ne comprends pas pourqui il complique les choses et je lui demande tout simplement.

Comme je viens de le signaler, pascal16 propose un exercice de généralisation, où la symétrie n'apporte pas la réponse immédiatement. Sa méthode permet de résoudre cette généralisation.

Tu sais, faire des maths, ce n'est pas refuser les exos non triviaux (c'est pourtant ce que tu fais ici, en essayant de te justifier via une critique sur l'emploi d'une soit-disant calculette....)

[leon1789]

Enoncé de l'exercice généralisé µ = 178

On étudie la production d’une usine qui fabrique des bonbons, conditionnés en sachets.
On choisit un sachet au hasard dans la production journalière. La masse de ce sachet, exprimée en gramme, est modélisée par une variable aléatoire X qui suit une loi normale d’espérance µ = 178. De plus, une observation statistique a montré que 2 % des sachets ont une masse inférieure ou égale à 170 g, ce qui se traduit dans le modèle considéré par : P(X <= 170) = 0,02.

Question 1 : Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de l’évènement « la masse du sachet est comprise entre 170 et 180 grammes » ?

qui trouve quoi ?
Personnellement, je trouve une proba de 0.676......

Il est bien évident que je saurais apprendre à ma machine comment calculer ce genre de chose. En fait, j'ai effectivement fait une fonction qui réalise cela.

ah bon ! peux-tu nous montrer ce qu'elle produit, s'il te plait ?

[Dlzlogic]

Bon, finalement, cette question semble plus difficile ou plus compliquée qu'il n'y parait. Au moins elle provoque des réactions inattendues.
D'abord l'énoncé donne comme moyenne 175 g et non 178 g.
Si la valeur donnée par l'énoncé était 178, alors la réponse directe, obtenue par symétrie n'est plus possible.
Ensuite, il y a une information superflue dans l'énoncé, parce qu'évidente : "une variable aléatoire X qui suit une loi normale d’espérance", c'est exactement comme si on ajoutait une table de multiplication, comme précision supplémentaire, dans un exercice d'algèbre : "on considère que la relation de multiplication est conforme à la table donnée en annexe".
Si ça intéresse quelqu'un de savoir comment j'ai informatisé la gestion et le calcul de la loi normale, je suis prêt à l'expliquer.

[Pseuda]

Pour le calcul de la loi normale avec un programme écrit soi-même, c'est easy : on connaît sa fonction de densité, il suffit de calculer l'aire sous la courbe (enfin une valeur approchée comme toujours) par la méthode des rectangles, ou celle des trapèzes (je l'ai fait il n'y a pas si longtemps par la méthode des rectangles).

[leon1789]

D'abord l'énoncé donne comme moyenne 175 g et non 178 g.
Si la valeur donnée par l'énoncé était 178, alors la réponse directe, obtenue par symétrie n'est plus possible.

Merci de répéter une fois de plus ce que tout le monde a déjà écrit dans le cas trivial où la valeur est 175.

Mais que ferais-tu dans le cas où c'est 178 ? Tu refuses l'exercice ?

Si ça intéresse quelqu'un de savoir comment j'ai informatisé la gestion et le calcul de la loi normale

fichtre ! ...tu sais que tous les tableurs et les calculettes de lycée, possèdent des fonctions liées à l'exploitation de la loi normale ?

Ensuite, il y a une information superflue dans l'énoncé, parce qu'évidente : "une variable aléatoire X qui suit une loi normale d’espérance",

ah bon, c'est superflu !.... Et pourquoi ?

[leon1789]

Pour le calcul de la loi normale avec un programme écrit soi-même, c'est easy : on connaît sa fonction de densité, il suffit de calculer l'aire sous la courbe (enfin une valeur approchée comme toujours) par la méthode des rectangles, ou celle des trapèzes (je l'ai fait il n'y a pas si longtemps par la méthode des rectangles).

oui, c'est possible, à condition de connaitre les paramètres de la loi normale (espérance et écart-type). L'espérance est donnée (175, ou 178 par exemple), ok.
Mais l'exercice "général" consiste, en deux temps, à passer de la connaissance de la valeur P(x<170) à celle de l'écart-type (ce qui demande la résolution d'une équation), puis à calculer P(170<x<180) (aire sous la courbe, comme tu dis).