Probabilité debase

[Arlti]

Bonjour a tous.

Voila j'ai un exercice a faire et j'aurais besoin de votre aide:

Soit X et Y deux variables aleatoires independantes distribuées uniformement sur [0;1]

1)
Calculer P(X<0.5)
Je trouve 0.5

2)
calculer P(X²<0.5)
je trouve

3)
calculer P(<0.5 et X²<0.5)
Sachant que la deuxième inégalité est inclue dans la première et que X est dans [0;1]
Je trouve racine cubique de 0.5

4)
calculer P(X=Y)
Je trouve 0

5)
calculer P(X²+Y²<1)
ça me fait penser a un cercle de centre zero et de rayon un.
mais comme X et Y sont positif ça me fait penser a un quart de cercle.
Je ne sais pas trop quoi faire avec ça.
Peut etre que la reponse est l'aire correspondant a ce quart de cercle c'est a dire pi/4.

6)
calculer P(XY<0.5)
aucune idée

Merci d'avance pour votre aide

[Sylviel]

C'est pas mal. Pour les deux dernières questions essaie de raisonner en terme de couple (X,Y), donc d'aire...

Un soucis pour le 3 toutefois, es-tu sûr de ce que tu avances ?

[Arlti]

Effectivement pour la trois.
C'est le contraire non ? C'est la première inégalité qui est inclue dans la deuxième
Donc la réponse est racine de 0,5
Cest bien ca ?

[Arlti]

par contre pour la 5 et 6 je ne vois vraiment pas :(
Surtout pour la 6
La 5 j'ai di pi/4 mais si c'est faux je ne sais pas :(

[Arlti]

Je fais un petit up car je ne sais toujours pas quoi faire :(

[Sylviel]

Et bien je t'ai dit d'interpréter ça en terme de couple (X,Y), et du coup c'est bien des aires qui t'intéressent... Essaie déjà d'interpréter la 5 comme cela, on parlera de la 6 ensuite.

[Arlti]

Ben pour la 5
l'ensemble X²+Y²<1 est representé par l'interieur d'un cercle de centre (0;0) et de rayon 1 mais comme on a les contrainte je pense donc que c'est l'interieur du quart de cercle (la partie superieure droite)

Si je calcule l'aire de ce quart de cercle je trouve pi*R²/4=pi/4

Mais comme une proba c'est quantité de cas favorables/ quantité de cas possibles il faut diviser par l'aire total des possibilités a savoir le carré [0;1]x[0;1]. Donc divisé par 1

Voila pourquoi je trouve pi/4.

C'est faux ?

[Sylviel]

Non c'est juste. Maintenant il faut faire de même avec l'autre proba...

[Arlti]

Pour l'autre ça va etre dur d'expliquer comment j'ai fait sans faire de dessins

Je fait un dessins de Y=0.5/X (je note f(x)=0.5/x) donc une fonction inverse coefficientée.

Ensuite je me concentre sur la partie qui est a la fois sous la courbe et dans le carré.

Or f(0.5)=1 donc toute la moitier gauche de mon carré est vérifiée par Y<0.5/X

Maintenant je m'occupe de la partie de droite. La je veux calculer l'aire sous la courbe entre 0.5 et 1 je calcule donc:

=0.5[ln(1)-ln(0.5)]=0.5*ln(2)

Il faut pas oublier d'ajouter la moitier de mon carré je trouve donc

0.5*ln(2)+0.5=0.5(ln(2)+1)