Proba & tirage avec remise

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jipi
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proba & tirage avec remise

par jipi » 15 Aoû 2005, 16:49

Voila, avec un pote on se prend la tete sur un sujet de probabilté.

Voila ce qu'il me soutient :
Imaginons un jeu de carte, on distribue 5 cartes, et 2 AS sortent. on reprend les cartes, on melange et on redistribue 5 cartes : 2 as sortent encore. D'apres lui, au troisieme tour de distribution, il est tres improbable que l'AS sorte. etant donné qu'il sont sortis aux tours d'avant.
Il invoque une soit disant loi des series qui veux que toutes les cartes tendent a sortir un nombre egal de fois et que donc comme l'as est sortit 4 fois il aura moins de chance de sortir au tour d'apres.

Alors que pour moi, il s'agit simplement d'un tirage avec remise, l'as a toujours 1 chance sur 13 de sortir. memes s'il y a eu des AS sortis lors des 50 tours precedents.

J'ai bien essayé de simplifier le probleme, genre pile ou face. Mais il continue a affirmer que si la piece tombe 3 fois de suite sur face, il y a plus de chance qu'elle tombe sur pile au coup suivant (toujours en invoquant le fait qu'au final il finira pas y avoir autant de face que de pile).

Donc voila. Quelqu'un peut me donner (enfin lui donner) une demonstration simple comme quoi la probabilité que "face" tombe lorsque que "face" est tombé au precedent lancé est tjrs de 1/2 ? ou me demontrer que je me trompe ?



phenomene
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par phenomene » 15 Aoû 2005, 16:58

En effet, un modèle raisonnable est de supposer les tirages indépendants. Les cartes n'ont pas de mémoire, les pièces de monnaie non plus. La "loi des séries", c'est du pipeau.

Maintenant, il s'agit peut-être plus d'un problème de modélisation, on peut toujours décider d'étudier cette situation avec une loi de probabilités bidon selon laquelle les tirages ne seraient pas indépendants. Mais je doute que la confrontation avec l'expérience valide ce modèle !

C'est peut-être tout simplement un problème de statistique et il suffit de faire un très grand nombre de tirages pour constater qu'aucun phénomène de "mémoire" n'est détectable.

celge
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il me semble

par celge » 15 Aoû 2005, 17:07

je ne vais peut etre pas etre très clair, mais il me semble que tout dépend du niveau auquel on se place. (je vais m'expliquer)

Que l'on soit dans la premiere donne, dans la seconde, ou dans la troisieme, la probabilité de sortir 2 as parmis les 5 cartes restera la même.
(c'est comme un joueur de dé, à son 56 ° lancer, il a autant de chance de faire un 6 qu'au premier lancer)

par contre, il me semble que si on se place dans, l'ensemble de la partie, la probabilité qu'il fasse 2 as à tous les coups(la probabilité qu'il sorte 3 fois 2 as dans quatre donnes, par exemple) va changer, et on pourra calculer ca avec le theoreme de bernouilli, non ?

jipi
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en fait

par jipi » 15 Aoû 2005, 19:13

Son but est de calculer la probabilite qu'un as sorte en fonction des as sortis lors des tours précedents (sachant qu'a la fin de chaque tour on reprend les cartes et on les melange).

Je vois pas trop comment ce qu'il c'est passé dans les tours précédents peut influencer ce qui va se passer au tour suivant.

celge
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justemement

par celge » 15 Aoû 2005, 19:24

justement, ca n'influence pas. (la seule probabilité qui dépend du nombre de donnes, c'est celle de faire , par exemple, 5 donnes conscecutives avec 2 as dedans) (à chaque fois, la probabilité de tirer deux as parmis les 5 cartes sera de 0,040 (à peu près, en réalité, c'est 0,03997 je crois))

phenomene
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par phenomene » 15 Aoû 2005, 19:31

jipi a écrit:Je vois pas trop comment ce qu'il c'est passé dans les tours précédents peut influencer ce qui va se passer au tour suivant.


Tu as raison, mais cela n'est pas du ressort des mathématiques. La théorie des probabilités consiste, une fois donné un modèle pour une expérience aléatoire de la "vie réelle", à faire des prédictions sur des fréquences "théoriques" d'apparition d'issues. Si on fait le modèle, raisonnable ici, selon lequel les cartes n'ont pas de mémoire, on dira en termes mathématiques que les tirages sont indépendants. Dans ce cas, on démontre facilement que le résultat d'un tirage n'affecte pas les autres, c'est presque la définition de l'indépendance. (*)

Maintenant, faire un modèle pour décrire la réalité n'est pas du domaine des mathématiques, les mathématiques ne commencent qu'une fois que le modèle (sorte d'idéalisation de la réalité) a été défini. Les mathématiques ne peuvent rien démontrer sur le monde réel, puisque leurs objets sont des entités abstraites et non des entités réelles.
Maintenant, il existe des théories mathématiques pour valider ou non un modèle, c'est du ressort de la statistique. Mais il s'agit encore de théories mathématiques (tests d'adéquation à une loi de probabilité donnée). En gros, on compare les résultats donnés par un grand nombre d'expériences aléatoires "réalisées physiquement" à ce que prédit le modèle, et si on constate un grand écart, on peut avoir des doutes sur sa validité. (Si tu prédis qu'un as sort à tous les coups par exemple, à partir d'un modèle affirmant cela, ton modèle ne résistera pas à l'expérience de la réalité !). Mais les mathématiques ne prouveront jamais, au sens mathématique d'une preuve, que tel ou tel événement ne peut pas se produire dans le monde réel, il ne faut pas tout mélanger.

(*) On dit que deux événements et sont indépendants si la probabilité qu'ils soient réalisés simultanément est donnée par :
.
On définit aussi la probabilité conditionnelle de , sachant que est réalisé, dans le cas où est de probabilité non nulle, par :
.
Dans le cas où et sont indépendants, la probabilité de sachant que est réalisé est donc égale à la probabilité de :
.
Evidemment, cette démonstration, si l'on veut l'appliquer à la réalité, n'est qu'un tour de passe-passe, puisque les définitions d'événements indépendants et de probabilité conditionnelle ont été choisies exprès pour qu'on ait les affirmations qui précèdent.

Maintenant, si tu as confiance en le modèle mathématique d'indépendance, tu fais un pari avec ton copain portant sur un très grand nombre de tirages, sur la probabilité d'obtenir un as à chaque fois qu'un as est déjà sorti deux fois de suite, et tu risques de devenir riche ! :lol5:

jipi
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par jipi » 15 Aoû 2005, 19:33

justement, ca n'influence pas. (la seule probabilité qui dépend du nombre de donnes, c'est celle de faire , par exemple, 5 donnes conscecutives avec 2 as dedans) (à chaque fois, la probabilité de tirer deux as parmis les 5 cartes sera de 0,040 (à peu près, en réalité, c'est 0,03997 je crois))


Et bien meme dans ce cas.
D'une donne a l'autre, la proba d'avoir deux as ne change pas ? qu'il y ait eu 2 as dans la donne precedente ou pas.

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peut etre que

par celge » 15 Aoû 2005, 19:36

peut etre que le problème de ton ami vient d'une mauvaise compréhension de l'énoncé. (il se peut qu'il ne comprenne pas qu'il s'agisse simplement de la probabilité de tirer deux as lors d'un tirage, indépendant du precedant et du suivant. Il peut comprendre qu'il s'agit de la probabilité de faire , par exemple, 5 tirages conscecutifs avec 2 as , ce qui n'est pas la meme chose, et qui se calcule avec le formule de bernouilli, à partir de la probabilité de tirer 2 as lors d'un tirage...ne connaissant pas ton niveau, je n'en dis pas plus sur bernouilli...)

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par celge » 15 Aoû 2005, 19:38

j'avais prevenu que je n'etais pas claire ! :we:

jipi
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par jipi » 15 Aoû 2005, 19:43

celge a écrit:peut etre que le problème de ton ami vient d'une mauvaise compréhension de l'énoncé. (il se peut qu'il ne comprenne pas qu'il s'agisse simplement de la probabilité de tirer deux as lors d'un tirage, indépendant du precedant et du suivant. Il peut comprendre qu'il s'agit de la probabilité de faire , par exemple, 5 tirages conscecutifs avec 2 as , ce qui n'est pas la meme chose, et qui se calcule avec le formule de bernouilli, à partir de la probabilité de tirer 2 as lors d'un tirage...ne connaissant pas ton niveau, je n'en dis pas plus sur bernouilli...)


Non non, il comprend tres bien. J'ai passe 1/2 heure dans le train a lui expliquer mais y avait rien a y faire. Il s'obstine a dire que parceque chaque carte a une probabilité egale de sortir, sur un tres grand nombre de tirage si une carte est bcp sortie au debut, elle sortira moins apres (pour que ca s'equilibre)

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par phenomene » 15 Aoû 2005, 20:09

jipi a écrit:Non non, il comprend tres bien. J'ai passe 1/2 heure dans le train a lui expliquer mais y avait rien a y faire. Il s'obstine a dire que parceque chaque carte a une probabilité egale de sortir, sur un tres grand nombre de tirage si une carte est bcp sortie au debut, elle sortira moins apres (pour que ca s'equilibre)


Alors explique-lui comme cela. Prenons le jeu de pile ou face pour rester simple. Le modèle d'équiprobabilité et d'indépendance des tirages prédit que sur un grand nombre de lancers, on aura à peu près la moitié de piles et la moitié de faces. Supposons que l'expérience soit faite avec une pièce équilibrée et qu'après 100 lancers, on ait eu 80 piles, par exemple -- coïncidence extraordinaire ! il est vrai que 80%/20%, c'est loin de 50%/50% !
Bon, mais le nombre de lancers n'est peut-être pas suffisant pour conclure. Alors faisons 900 lancers de plus. Nul n'est besoin de supposer qu'on va obtenir une majorité de faces pour compenser l'effet précédent ! Supposons que conformément au modèle théorique, on obtienne 450 piles et 450 faces (ce qui s'est passé avant n'a aucune influence). Sur la série de 1000 lancers, on en est à 530 piles et 470 faces, c'est-à-dire un rapport 53%/47%. La coïncidence du début tend à disparaître après un grand nombre de lancers ! Et ce toujours sans supposer la moindre mémoire du passé. Je te laisse imaginer les pourcentages après 1 000 000 de lancers. Nul besoin de "compenser" les résultats du début pour tendre vers l'équilibre.

Amicalement.

jipi
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par jipi » 16 Aoû 2005, 00:27

Bien joué.
Le mieux je crois. c que je lui ferais lire le fil de la discution a son retour de vacances.

Merci bcp en tt cas

 

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