Proba. TES

[stephane61]

Bonjour,

J'ai un dm à rendre et je bloque sur la dernière question. Pouvez-vous m'expliquer et regarder si le reste vous semble bon svp ?

Exercice 1

Une enquête a été réalisée auprès des élèves inscrits à la demi-pension d'un lycée. Les résultats révèlent que :

=>95% des élèves déclarent manger régulièrement à la cantine et parmi ceux-ci 70% sont satisfaits de la qualité des repas
=>20% des élèves qui ne mangent pas régulièrement sont satisfaits de la qualité des repas.

On choisit un élève au hasard parmi les élèves inscrits à la demi-pension.
On note les évènements suivants :
R l'évènement : "l'élève mange régulièrement à la cantine"
S l'évènement : "l'élève est satisfait"
On notera contraire de R et contraire de S les évènements contraires de R et S.

1) Construire un arbre pondéré décrivant la situation

http://imagesia.com/maths-004_12cr3

2) Calculer la probabilité que l'élève mange régulièrement à la cantine et soit satisfait de la qualité des repas.

P(R inter S)= 0.95*0.7=0.665

La probabilité que l'élève mange régulièrement à la cantine et soit satisfait de la qualité des repas est de 0.665

3)Montrer que la probabilité de l'évènement S est égale à 0.675

P(S)= P(R inter S) + P (contraire de R inter S)
P(S)= 0.665+0.05*0.2
P(S)= 0.665+0.01
P(S)= 0.675

4)Sachant que l'élève n'est pas satisfait de la qualité des repas, calculer la probabilité qu'il mange régulièrement à la cantine. Donner le résultat arrondi à 10^-3.

P(contraire de S) = 1- P(S)
P(contraire de S)= 1-0.675
P(contraire de S)= 0.325

P contraire de S (R)= P(contraire de S inter R)/ P (contraire de S)
P contraire de S (R)= (0.3*0.95)/0.325
P contraire de S (R)= 0.285/0.325
P contraire de S (R)= environ 0.877

La probabilité que l'élève mange régulièrement à la cantine sachant qu'il n'est pas satisfait de la qualité des repas est de environ 0.877.


5) On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves inscrits à la demi-pension.
On note X la variable aléatoire égale au nombre d'élèves déclarant être satisfaits de la qualité des repas. Le nombre d'élèves étant suffisamment grand, on considère que X suit une loi binomiale. Les résultats seront arrondis au millième.

a) préciser les paramètres de cette loi binomiale.

X suit la loi binomiale de paramètres B(4;0.675)

b)Calculer la probabilité de l'évènement A :"les quatre élèves sont satisfaits de la qualité des repas"

P(X=4) = (4 parmi 4) * 0.675^4 * (1-0.675)^4-4
P(X=4)= 1*0.208*1
P(x=4)= environ 0.208
Donc P(A)= environ 0.208
Pouvez-t'on mettre directement le résultat à l'aide la calculatrice ou il faut mieux écrire cette formule?

c)Décrire à l'aide d'une phrase l'évènement contraire de A et calculer sa probabilité.

Contraire de A l'évènement : "les quatre élèves ne sont pas satisfaits de la qualité ds repas"

C'est l'évènement contraire de A donc p(contraire de A)= 1-0.208=0.792

6) On sait que parmi les élèves inscrits dans l'établissement 45% sont des garçons, et que parmi les garçons 1/3 est inscrit en classe en terminale.
On interroge successivement et de façon indépendante 8 élèves pris au hasard parmi les élèves du lycée. (un élève peut être interrogé plusieurs fois de suite). Calculer la probabilité que parmi ces 8 élèves au moins 2 soient des garçons inscrits en classe de terminale.

Voilà ce que j'ai essayé de faire mais je pense que mes réponses sont fausses :

J'ai d'abord essayé de faire un arbre :

C l'évènement "l'élève est un garçon"
T l'évènement "l'élève est un garçon inscrit en terminale

http://imagesia.com/maths-006_12cr4

Puis je me suis dit : X suit la loi binomiale de paramètres b (8;0.45)

P(X>ou =2)=1-P(X=1)
= 1-0.0548
= 0.9452

La probabilité que parmi les 8 élèves au moins 2 soient des garçons inscrits en classe de terminale est de 0.9452

Merci d'avance à ceux qui pourront m'aider car j'ai déjà posté 2 autres exercices avec des probabilités qui sont restés sans réponse.