Ts proba

[Anonyme]

ON considere un groupe de n personnes. A l'accasion des fêtes de fin
d'année, chacune de ces personnes envoie une carte à une et une seule des
autres personnes du groupes.
1)Calculer le nombre total de N maniere d'adresser ces n cartes. ( jai
trouve (n-1)^n )
2) On considère une personne A du groupe, et pour tout entier k compris
entre 0 et (n-1), on apelle Nk le nombre de maniere d'adresser les n cartes
de sort que A reçoive exactement k cartes.
a)Calculer Nk (je coince la)
b)calculer de deux manière diffèrentes la somme S=(n-1)Sigma(k=o) de Nk
merci d'avance pour votre aide!

[Anonyme]

> ON considere un groupe de n personnes. A l'accasion des fêtes de fin
> d'année, chacune de ces personnes envoie une carte à une et une seule des
> autres personnes du groupes.
> 1)Calculer le nombre total de N maniere d'adresser ces n cartes. ( jai
> trouve (n-1)^n )

Ca me semble juste.

> 2) On considère une personne A du groupe, et pour tout entier k compris
> entre 0 et (n-1), on apelle Nk le nombre de maniere d'adresser les n
cartes
> de sort que A reçoive exactement k cartes.
> a)Calculer Nk (je coince la)
Je me lance, mais je ne garantis pas l'exactitude du résultat...

Chaque personne envoie une et une seule carte à un autre. Pour que A en
reçoive k, il faut donc que k personnes parmi les n-1 autres lui envoient
une carte, et n-1-k ne
lui en envoient pas. Pour dénombrer les manières possibles de le faire, on
doit donc compter le nombre de façons de choisir les k personnes (soit
C_n-1_k, ou (n-1)!/((n-1-k)!k!) ).
Ensuite, on dénombre les façons dont les n-1-k autres envoient leurs cartes
: c'est (n-2)^(n-k-1) car ils peuvent envoyer leurs cartes à n-2 personnes
(la carte doit aller vers quelqu'un d'autre, et pas A)
Enfin, on tient compte des façons dont A peut envoyer sa carte : n-1

Donc, Nk = C_n-1_k * (n-2)^(n-k-1) * (n-1)

> b)calculer de deux manière diffèrentes la somme S=(n-1)Sigma(k=o) de Nk

Alors S=(n-1)*Sigma(k=0 à n-1)((n-1)*C_n-1_k*(n-2)^(n-k-1))
On peut sortie le n-1. On a alors (n-1)^2*Sigma(k=0 à
n-1)(C_n-1_k*(n-2)^(n-1-k)*1^k
Le 1^k ne change bien sûr rien au résultat, mais permet de voir que le sigma
est tout simplement le binôme de Newton (si je me souviens bien du nom) et
que ce sigma vaut donc (n-2+1)^(n-1) soit (n-1)^(n-1).
En remultipliant par ce qu'il y a devant, on retrouve S = (n-1)^(n+1)

Autrement, on pouvait le retrouver en ce disant que le sigma des Nk recouvre
toutes les manières possibles de distribuer les cartes (A n'en reçoit
aucune, A en reçoit exactement 1, etc...) et vaut donc (n-1)^n comme on l'a
vu au début. En multipliant par n-1 on retrouve S = (n-1)^(n+1)

> merci d'avance pour votre aide!

Pas de quoi, j'espère n'avoir pas raconté trop de bétises...

Jeremy Gibbons

[Anonyme]

Merci ca parait juste jai verifier avec n=3 !!

"Jeremy Gibbons" a écrit dans le message de
news:bkmg17$a0c$1@avanie.enst.fr...[color=green]
> > ON considere un groupe de n personnes. A l'accasion des fêtes de fin
> > d'année, chacune de ces personnes envoie une carte à une et une seule[/color]
des[color=green]
> > autres personnes du groupes.
> > 1)Calculer le nombre total de N maniere d'adresser ces n cartes. ( jai
> > trouve (n-1)^n )
>
> Ca me semble juste.
>
> > 2) On considère une personne A du groupe, et pour tout entier k compris
> > entre 0 et (n-1), on apelle Nk le nombre de maniere d'adresser les n
> cartes
> > de sort que A reçoive exactement k cartes.
> > a)Calculer Nk (je coince la)
> Je me lance, mais je ne garantis pas l'exactitude du résultat...
>
> Chaque personne envoie une et une seule carte à un autre. Pour que A en
> reçoive k, il faut donc que k personnes parmi les n-1 autres lui envoient
> une carte, et n-1-k ne
> lui en envoient pas. Pour dénombrer les manières possibles de le faire, on
> doit donc compter le nombre de façons de choisir les k personnes (soit
> C_n-1_k, ou (n-1)!/((n-1-k)!k!) ).
> Ensuite, on dénombre les façons dont les n-1-k autres envoient leurs[/color]
cartes
> : c'est (n-2)^(n-k-1) car ils peuvent envoyer leurs cartes à n-2
personnes
> (la carte doit aller vers quelqu'un d'autre, et pas A)
> Enfin, on tient compte des façons dont A peut envoyer sa carte : n-1
>
> Donc, Nk = C_n-1_k * (n-2)^(n-k-1) * (n-1)
>[color=green]
> > b)calculer de deux manière diffèrentes la somme S=(n-1)Sigma(k=o) de Nk
>
> Alors S=(n-1)*Sigma(k=0 à n-1)((n-1)*C_n-1_k*(n-2)^(n-k-1))
> On peut sortie le n-1. On a alors (n-1)^2*Sigma(k=0 à
> n-1)(C_n-1_k*(n-2)^(n-1-k)*1^k
> Le 1^k ne change bien sûr rien au résultat, mais permet de voir que le[/color]
sigma
> est tout simplement le binôme de Newton (si je me souviens bien du nom) et
> que ce sigma vaut donc (n-2+1)^(n-1) soit (n-1)^(n-1).
> En remultipliant par ce qu'il y a devant, on retrouve S = (n-1)^(n+1)
>
> Autrement, on pouvait le retrouver en ce disant que le sigma des Nk
recouvre
> toutes les manières possibles de distribuer les cartes (A n'en reçoit
> aucune, A en reçoit exactement 1, etc...) et vaut donc (n-1)^n comme on
l'a
> vu au début. En multipliant par n-1 on retrouve S = (n-1)^(n+1)
>[color=green]
> > merci d'avance pour votre aide!
>
> Pas de quoi, j'espère n'avoir pas raconté trop de bétises...
>
> Jeremy Gibbons
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