Proba-besoin d'aide

[biss]

Salut à tous
J'ai des exercices de probabilité sans corrigé que j'ai tenté de résoudre mais je doute de certains de mes réponses. J'aimerai donc que vous m'aidiez en me disant la reponse est juste ou non si vous le pouvez. C'est beaucoup et je ne vous demande pas de corrigé le tout mais seulement ce dont vous en avez envie. Toute contribution sera utile.
Merci et bonne chance !

Exercice 2
Soit A l'ensemble des nombres à 6 chiffres ne comportant aucun 0. Déterminer les cardinaux suivants :
1. A. 9^6=531441
2. A1, ensemble des nombres de A ayant 5 chiffres différents. 9*8*7*6*5*4=60480
3. A2, ensemble des nombres pairs de A. 9*9*9*9*9*4=236196
4. A3, ensemble des nombres de A dont les chiffres forment une suite strictement croissante. 4

Exercice 9 Un pneu a une durée de vie excédant 25 000 km avec une probabilité de 95%.
1- Quelle est la probabilité qu'un lot de 4 pneus identiques ait une durée de vie d'au moins 25000 km ?
0,05^3*0,95+0,05^2*0,95^2+0,05*0,95^3+0,95^4
P=0.85975
2- Quelle est la probabilité que dans le lot de 4 pneus au plus un des pneus ne dépasse pas les 25 000 km ?
0,95*0,05^3+0,05^4
P=0.000125

Exercice 10 ( à préparer) Un circuit comprend 3 interrupteurs automatiques et on désire, avec une probabilité de 95 %, que tous les 3 fonctionnent pendant un intervalle de temps donné. Quelle est la probabilité de panne admissible pour un interrupteur sur un intervalle de temps donné?
A évènement "1er interrupteur fonctionne"
B "2e interrupteur fonctionne"
C "3e interrupteur fonctionne
P(A^B^C)=0.95=P(A)*P(B)*P(C)=P(A)^3
Soit X la probabilité qu'un interrupteur fonctionnent pendant un temps donné.
P(A)=X
X^3=.95 donc X=0.0127415


Exercice 11 Sur une période de 30 jours, il y a 8% de risque que le moteur d’un générateur électrique nécessite une réparation et 4% de risque que le générateur nécessite une réparation, quelle est la probabilité que l’ensemble de l’appareillage ( moteur + générateur) nécessite une réparation pendant la même période ?
A évènement "Le moteur nécessite une réparation sur 30 jours"
B évènement "Le générateur nécessite une réparation sur 30 jours"
P(A^B)=P(A)*P(B)=0.04*0.08=0.0032

Exercice 4 On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques, 6 livres de physique, et 3 de chimie. De combien de façons peut-on effectuer ce rangement :
1. si les livres doivent être groupés par matières.
Math : 24 façon
Physique : 720 façon
Chimie : 6 façon
24*720*6*arrangement(3:3)=207360
2. si seuls les livres de mathématiques doivent être groupés.
Il y'a 24 façon d'arranger les livres de 24.
Si on représente le lot de 4 livres par un livre spéciale parmi 10 livres. Donc on aura
Arrangement(10:10)*24=87091200

Exercice 5 Un magasin d'informatique a reçu un lot de boites de CD-ROM. 5% des boites sont abimées. On estime que : - 60% des boites abimées contiennent au moins un CD-ROM défectueux. - 90% des boîtes non abîmées ne contiennent aucun CD-ROM défectueux. Un client achète une boite du lot. On désigne par A l'événement : “la boite est abimée" et par D l'événement “la boite achetée contient au moins un CD défectueux".
1. Présenter l’arbre des probabilités et donner :
a. la probabilité qu’ une boite achetée soit en bon état
P=1-0.05=0.95
b. la probabilité qu’une boite abimée contienne au moins un CD est défectueux
D'après l'énoncé
P=0.6
c. la probabilité qu’une boite en bon état ne contienne aucun CD défectueux
D'après l'énoncé
P=0.9
2. Le client constate qu'un des CD-ROM acheté est défectueux. Quelle est la probabilité pour qu'il ait acheté une boite abimée.
A "La boite est abimées"
B "La boite est en bon état"
C "Le CD est défectueux"
P(A/C)=P(A et C)/P(C)
P(C)=0.05*0.6+0.95*0.1=12.5
P(A et C)=P(A et C)=0.05*0.6=.3
P(A/C)=0.24

Exercice 2-8 : Dans un groupe de 20 personnes, quelle est la probabilité pour qu'il n'y ait jamais plus d'un anniversaire par jour ? P=(1/365)*(364/365)^(364)*365=0.36838419

Et dans un groupe de 50 personnes ? (on feracomme si toutes les années avaient 365 jours).
P=(364/365)^50+((364/365)^(49))*(1/365)=0.87421

Exercice : On transmet un message composé de n symboles binaires '0' ou '1'. Lorsde la transmission, chaque symbole est perturbé avec la probabilité p et se transformealors en symbole opposé. Par précaution, le message est transmis deux fois. Si les deuxmessages transmis coïncident, l'information est considérée comme correcte.
a) Avec quelle probabilité le i-ième symbole du premier message transmis est-ilidentique au i-ième symbole du deuxième message transmis ?
Je suppose que le 2e message est correct avec une probabilité de 1
P=1-p
b) Avec quelle probabilité les deux messages transmis sont-ils identiques ?
(1-p)^n
c) Trouver la probabilité pour que, malgré la coïncidence des deux messages,l'information s'avère erronée. (Application numérique : n = 100 p = 0,001 ).
P=(1-(1-p)^100)^2


Exercice 2-13 : Un candidat d'un jeu télévisé américain est face à trois portes. Derrièrel'une d'elles se trouve le prix, - une voiture -. Le candidat se place devant la porte de sonchoix. Le présentateur de l'émission, qui lui sait où se trouve la voiture, ouvre alors l'unedes deux autres portes et indique au candidat que la voiture ne s'y trouve pas. Le candidatpeut à son tour ouvrir une porte. S'il découvre la voiture, il la gagne.Un candidat décide d'adopter l'une des trois stratégies suivantes :
a) ouvrir la porte devant laquelle il s'est placé à l'issu de son premier choix,
b) ouvrir l'autre porte,
c) tirer à pile ou face et, s'il obtient pile, ouvrir la porte devant laquelle il s'estplacé à l'issu de son premier choix, ouvrir l'autre porte s'il obtient face.
L'une de ces trois stratégies est-elle préférable aux autres ?
Non car la probabilité d'avoir la voiture dans chacune des cas est de 0.5

Exercice 7 Une usine fabrique des pièces, avec une proportion de 0,05 de pièces défectueuses. Le contrôle des fabrications est tel que : - si la pièce est bonne, elle est acceptée avec la probabilité 0,90. - Si la pièce est mauvaise, elle est refusée avec la probabilité 0,99
On choisit une pièce au hasard et on la contrôle. Présenter l’arbre des probabilités. Quelle est la probabilité : 1. qu'il y ait une erreur de contrôle ?
C "La pièce est accepté"
D "La pièce n'est pas accepté"
E "Il y'a une erreur de contrôle"
P(E)=P(C/B)*P(B)+P(D/A)*P(A)=0.0005+0.095=0.0955

2. qu'une pièce acceptée soit mauvaise ?
C'est un casse tête. J'ai pas pu

Exercice 11 Sur une période de 30 jours, il y a 8% de risque que le moteur d’un générateur électrique nécessite une réparation et 4% de risque que le générateur nécessite une réparation, quelle est la probabilité que l’ensemble de l’appareillage ( moteur + générateur) nécessite une réparation pendant la même période ?
A évènement "Le moteur nécessite une réparation sur 30 jours"
B évènement "Le générateur nécessite une réparation sur 30 jours"
P(A^B)=P(A)*P(B)=0.04*0.08=0.0032

[Tiruxa47]

Exercice 2
Soit A l'ensemble des nombres à 6 chiffres ne comportant aucun 0. Déterminer les cardinaux suivants :
1. A. 9^6=531441
2. A1, ensemble des nombres de A ayant 5 chiffres différents. 9*8*7*6*5*4=60480
3. A2, ensemble des nombres pairs de A. 9*9*9*9*9*4=236196
4. A3, ensemble des nombres de A dont les chiffres forment une suite strictement croissante. 4

Bon je réponds sur l'ex n°2 :
les 3 premières réponses sont justes
Pour la 4 on obtient un tel nombre en choisissant 6 chiffres distincts parmi les 9 possibles(réponse de la question 2) puis en les ordonnant dans l'ordre croissant. Il faut donc diviser par le nombre de permutations possibles des 6 chiffres soit 6!
D'où 84 nombres possibles.

[beagle]

"Exercice 2-13 : Un candidat d'un jeu télévisé américain est face à trois portes. Derrièrel'une d'elles se trouve le prix, - une voiture -. Le candidat se place devant la porte de sonchoix. Le présentateur de l'émission, qui lui sait où se trouve la voiture, ouvre alors l'unedes deux autres portes et indique au candidat que la voiture ne s'y trouve pas. Le candidatpeut à son tour ouvrir une porte. S'il découvre la voiture, il la gagne.Un candidat décide d'adopter l'une des trois stratégies suivantes :
a) ouvrir la porte devant laquelle il s'est placé à l'issu de son premier choix,
b) ouvrir l'autre porte,
c) tirer à pile ou face et, s'il obtient pile, ouvrir la porte devant laquelle il s'estplacé à l'issu de son premier choix, ouvrir l'autre porte s'il obtient face.
L'une de ces trois stratégies est-elle préférable aux autres ?
Non car la probabilité d'avoir la voiture dans chacune des cas est de 0.5"

c'est un grand classique que tu retrouveras en article wikipedia en tapant simplement "problème des 3 portes" tellement il est célèbre.Egalement sous le nom de problème de Monty Hall.

Il y a trois portes.

Dans 1/3 cas , tu choisis la bonne porte, le présentateur ouvre celle qu'il veut, si tu changes il n' ya pas la voiture:
dans 1/3 des cas tu as perdu en changeant

Dans 2/3 cas tu n'as pas choisis la bonne porte, il reste deux portes la voiture et pas la voiture, le présentateur n'a qu'un seul choix pas la voiture et toi si tu changes tu as la voiture à tout coup
dans 2/3 des cas en changeant tu as gagné

[Tiruxa47]

Exercice 7 Une usine fabrique des pièces, avec une proportion de 0,05 de pièces défectueuses. Le contrôle des fabrications est tel que : - si la pièce est bonne, elle est acceptée avec la probabilité 0,90. - Si la pièce est mauvaise, elle est refusée avec la probabilité 0,99
On choisit une pièce au hasard et on la contrôle. Présenter l’arbre des probabilités. Quelle est la probabilité : 1. qu'il y ait une erreur de contrôle ?
C "La pièce est accepté"
D "La pièce n'est pas accepté"
E "Il y'a une erreur de contrôle"
P(E)=P(C/B)*P(B)+P(D/A)*P(A)=0.0005+0.095=0.0955

2. qu'une pièce acceptée soit mauvaise ?
C'est un casse tête. J'ai pas pu

Le 1 est juste
Pour le 2 on demande p(B/C) c'est à dire proba qu'elle soit mauvaise sachant qu'elle est acceptée
C'est donc p( B inter C )/p(C)=.....

Ceci dit si tu souhaites d'autres conseils il faut te manifester un peu.

[biss]

Je vois ... donc si
A"La piece est bonne"
B "la piece est mauvaise"
C "la piece est accepte"
D"la piece est refuser"

P(C)=0,9×0,95+0,1×0,5
P(D)=1-P(C)
P(B)=P(B/C)×P(C)+P(B/D)×P(D)
On tire P(B/C)
Ca m'a l'air bon merci Tiruxa47
J'attend le corriger d'un autre et puis celui avec les anniverssaire dans un groupe de 20 personnes ou 50
L'exerice du message transmis ma l'air d'etre un peu baleze

[Tiruxa47]

Je vois ... donc si
A"La piece est bonne"
B "la piece est mauvaise"
C "la piece est accepte"
D"la piece est refuser"

P(C)=0,9×0,95+0,1×0,5 erreur 0,9x0,95+0,01x0,05
P(D)=1-P(C)
P(B)=P(B/C)×P(C)+P(B/D)×P(D)
On tire P(B/C), non car on ne connait pas non plus p(B/D)

Comme dit plus haut : p(B/C)=p("B et C")/p(C)
de plus p("B et C")=p(B)xp(C/B)=0,05x0,01 =..... (à terminer)
Faire un arbre pondéré aide grandement dans ce genre d'exercice.

[biss]

"Exercice 2-13 : Un candidat d'un jeu télévisé américain est face à trois portes. Derrièrel'une d'elles se trouve le prix, - une voiture -. Le candidat se place devant la porte de sonchoix. Le présentateur de l'émission, qui lui sait où se trouve la voiture, ouvre alors l'unedes deux autres portes et indique au candidat que la voiture ne s'y trouve pas. Le candidatpeut à son tour ouvrir une porte. S'il découvre la voiture, il la gagne.Un candidat décide d'adopter l'une des trois stratégies suivantes :
a) ouvrir la porte devant laquelle il s'est placé à l'issu de son premier choix,
b) ouvrir l'autre porte,
c) tirer à pile ou face et, s'il obtient pile, ouvrir la porte devant laquelle il s'estplacé à l'issu de son premier choix, ouvrir l'autre porte s'il obtient face.
L'une de ces trois stratégies est-elle préférable aux autres ?
Non car la probabilité d'avoir la voiture dans chacune des cas est de 0.5"

c'est un grand classique que tu retrouveras en article wikipedia en tapant simplement "problème des 3 portes" tellement il est célèbre.Egalement sous le nom de problème de Monty Hall.

Il y a trois portes.

Dans 1/3 cas , tu choisis la bonne porte, le présentateur ouvre celle qu'il veut, si tu changes il n' ya pas la voiture:
dans 1/3 des cas tu as perdu en changeant

Dans 2/3 cas tu n'as pas choisis la bonne porte, il reste deux portes la voiture et pas la voiture, le présentateur n'a qu'un seul choix pas la voiture et toi si tu changes tu as la voiture à tout coup
dans 2/3 des cas en changeant tu as gagné

Effectivement j'ai vu sur la toile que ca correspond au fameux jeu de MontyHall.
D'ailleurs son jeu me parait un peu louche car j'etais sûr que les 3 revenait à la même chose apparant j'avais faux

[Tiruxa47]

Exercice 2-8 : Dans un groupe de 20 personnes, quelle est la probabilité pour qu'il n'y ait jamais plus d'un anniversaire par jour ? P=(1/365)*(364/365)^(364)*365=0.36838419

Et dans un groupe de 50 personnes ? (on feracomme si toutes les années avaient 365 jours).
P=(364/365)^50+((364/365)^(49))*(1/365)=0.87421

Réponses fausses
Cela revient à chercher la probabilité que les 20 personnes soient nées des jours distincts, il y a 365!/345!
façons de choisir les 20 jours distincts parmi les 365 possibles
D'où la proba est (365!/345!)/(365^20)

Même raisonnement en 2°
Pour le calcul il vaut mieux écrire (365/365) *( 364/365) * (363/365) *.....*(346/365)

[biss]

Effectivement