Prise d'initiative TS

[Morgaanee]

Bonjour à tous, j'ai un devoir à faire pour demain mais je ne comprend absolument pas ce qu'il faut faire pour cet exercice ..

Voici l'énoncé :

La figure ci-contre représente un cercle de rayon R, un carré inscrit dans ce cercle, un cercle inscrit dans ce carré et ainsi de suite

1- On a tracé quatre cercles et quatre carrés. Déterminer l'aire totale des zones colorées en fonction de R.
2- Vers quelle limite tend l'aire totale des zones colorées lorsque l'on poursuit la construction indéfiniment ? Intuitivement je dirais 0 mais cela reste à prouver ...

Merci d'avance à tous

[Monsieur23]

Aloha,

Est-ce que tu as répondu à la première question déjà ?

Ensuite, il faut que tu écrives l'aire coloriée quand tu "rajoutes" un étage :

si tu sais quelle est l'aire bleue avec 4 cercles et 4 carrés, comment faire pour calculer l'aire bleue avec 5 cercles et 5 carrés (sans tout recalculer) ?

[Morgaanee]

Tout d'abord Merci de ta réponse.

Non je n'est même pas réussis à répondre à la première question car :
Tout d'abord l'aire coloré correspond au blanc ou au bleu (car dans mon livre le blanc et violet et le bleu est vert :/)

Mais supposons que l'aire coloré est le bleu dans ce cas l'aire d'un couple cercle/carré est égale à :
(pi x R²)- C²

Je multiple ensuite cette relation par quatre puis il y a 4 couple donc j'obtiens :
4[(pi x R²)- C²]

Est ce exact ?

[Monsieur23]

Tout d'abord Merci de ta réponse.

Non je n'est même pas réussis à répondre à la première question car :
Tout d'abord l'aire coloré correspond au blanc ou au bleu (car dans mon livre le blanc et violet et le bleu est vert :/)

Mais supposons que l'aire coloré est le bleu dans ce cas l'aire d'un couple cercle/carré est égale à :
(pi x R²)- C²

Je multiple ensuite cette relation par quatre puis il y a 4 couple donc j'obtiens :
4[(pi x R²)- C²]

Est ce exact ?

Non, c'est pas bon. Disons qu'on calcule l'aire bleue.
Le premier cercle est de rayon R.
Combien mesure le côté du premier carré ?

Ensuite, combien mesure le rayon du deuxième cercle ? Et le côté du deuxième carré ?

[Morgaanee]

Je ne vois pas, je sais juste que l'air du cercle correspond à pi x R²
Mais comment connaître le côté du premier carré ? Je pense que ça à un rapport avec le rayon du cercle qu'il faudrait soustraire à une valeur peut être mais je ne vois pas laquelle

[Monsieur23]

Pour avoir le côté du carré :
tu traces la diagonale du carré : elle correspond à un diamètre du cercle.

La diagonale du carré mesure donc 2R. Comment retrouver les côtés d'un carré à partir de sa diagonale ?

[capitaine nuggets]

Bonjour à tous, j'ai un devoir à faire pour demain mais je ne comprend absolument pas ce qu'il faut faire pour cet exercice ..

Voici l'énoncé :

La figure ci-contre représente un cercle de rayon R, un carré inscrit dans ce cercle, un cercle inscrit dans ce carré et ainsi de suite

1- On a tracé quatre cercles et quatre carrés. Déterminer l'aire totale des zones colorées en fonction de R.
2- Vers quelle limite tend l'aire totale des zones colorées lorsque l'on poursuit la construction indéfiniment ? Intuitivement je dirais 0 mais cela reste à prouver ...

Merci d'avance à tous

Si j'ai bien compris, il t'est demandé de calculer les deux aires colorées.
Tu peux noter une chose : c'est que dès que tu en connaîtras une, tu connaîtras l'autre puisque la somme des deux forme un disque :+++:
1. Si j'appelle le plus grand des cercles (celui de rayon ), le carré inscrit dedans et la première aire bleue telle que .
Que vaut ? Que vaut ?
Soient maintenant le cercle inscrit dans (donc de rayon strictement plus petit que R), le carré inscrit dedans et la seconde aire bleue telle que .
Que vaut ? Que vaut ? Déduis-en :++:
...
2. Une première remarque : On effectue des sommes d'aires de plus en plus petites, mais une aire étant positive (en particulier les premières le sont strictement), la somme des aires ne pourra jamais tendre vers 0 lorsqu'on répète le processus à l'infini.

[Morgaanee]

Pour avoir le côté du carré :
tu traces la diagonale du carré : elle correspond à un diamètre du cercle.

La diagonale du carré mesure donc 2R. Comment retrouver les côtés d'un carré à partir de sa diagonale ?

Ah beh Oui !
Les côtés et la diagonales d'un carré sont reliés par la relation d = c x 2
Donc l'aire du premier couple cercle/carré est égale à :
pi x R² - (2R x 2)²

Et ensuite le rayon du 2ième cercle est égale au côté du 1er carré = (2R x 2)/2
Et ainsi les côtés du 2ième carrés = (2R x 2) x 2

Est correct ?

[Monsieur23]

Ah beh Oui !
Les côtés et la diagonales d'un carré sont reliés par la relation d = c x 2
Donc l'aire du premier couple cercle/carré est égale à :
pi x R² - (2R x 2)

Et ensuite le rayon du 2ième cercle est égale au côté du 1er carré = (2R x 2)/2
Et ainsi les côtés du 2ième carrés = 2R x 2 x 2

Est correct ?

Tu as dû en oublier un bout : la diagonale du carré vaut 2R, donc le côté du carré vaut 2R/;)2. Donc l'aire du carré est ?

Donc l'aire du cercle privé du carré ?

[Morgaanee]

Si j'ai bien compris, il t'est demandé de calculer les deux aires colorées.
Tu peux noter une chose : c'est que dès que tu en connaîtras une, tu connaîtras l'autre puisque la somme des deux forme un disque :+++:
1. Si j'appelle le plus grand des cercles (celui de rayon ), le carré inscrit dedans et la première aire bleue telle que .
Que vaut ? Que vaut ?
Soient maintenant le cercle inscrit dans (donc de rayon strictement plus petit que R), le carré inscrit dedans et la seconde aire bleue telle que .
Que vaut ? Que vaut ? Déduis-en :++:
...
2. Une première remarque : On effectue des sommes d'aires de plus en plus petites, mais une aire étant positive (en particulier les premières le sont strictement), la somme des aires ne pourra jamais tendre vers 0 lorsqu'on répète le processus à l'infini.

Il met demander de calculer la surface bleu ET blanche ? :doh:
L'aire de C1 vaut : (2R / 2 )²
L'aire de B1 vaut : (pi x R²) - (2R / 2 ) ² ?

L'aire de C2 vaut : (2R/;) 2)/;) 2
L'aire de B2 vaut : (pi x R²) - (2R / 2 )/;) 2 ?

[Morgaanee]

Tu as dû en oublier un bout : la diagonale du carré vaut 2R, donc le côté du carré vaut 2R/;)2. Donc l'aire du carré est ?

Donc l'aire du cercle privé du carré ?

Oui en effet j'en avais oublié une partie ^^'
Donc en y reprenant laire du cercle privé du carré est de (pi x R²) - (2R / 2 ) ² ?

[Monsieur23]

Oui en effet j'en avais oublié une partie ^^'
Donc en y reprenant laire du cercle privé du carré est de (pi x R²) - (2R / 2 ) ² ?

C'est bien ça Tu peux simplifier le deuxième terme avec le carré.

[Morgaanee]

C'est bien ça Tu peux simplifier le deuxième terme avec le carré.

Oui ça vas donné 4R^2 /2 = 2R^2 si je ne me trompe pas

Mais il faut que je fasse le même raisonnements et tous les calculs pour chaque couple où il y a une astuce qui me permet de l'éviter ?

[Monsieur23]

Du coup, si on note R1 le rayon du premier cercle, tu as l'aire du premier couple cercle/carré A1 = (pi - 2) R1^2

Est-ce que tu peux écrire l'aire A2 du deuxième couple en fonction du rayon du deuxième cercle R2 ?
Ensuite, est-ce que tu peux écrire R2 en fonction de R1 ? Et A2 en fonction de A1 ?
Ensuite, est-ce que tu peux écrire R(n+1) en fonction de R(n) ?
Et puis A(n+1) en fonction de A(n) ?

Donc l'aire colorée jusqu'au rang 4, ça sera A1 + A2 + A3 + A4.