Principe de récurrence

[kmouche]

Bonjour à tous et à toutes !

Voici un devoir maison concocté par mon cher professeur, le genre de dm que je déteste parce que il faut démontrer des choses et puis je sais pas..c'est pas comme des exercices normaux..enfin voila, ceux qui pourront m'aider sont les bienvenus !

On pose Sn=0+1+2^2 + 3^2 +...+ n^2 pour la somme des carrés des n+1 premiers entiers. On souhaiterait déterminer une formule sommatoire générale pour Sn.

1) Montrer par récurrence que si une fonction f vérifie:
(i) f(O)=0
(ii) f(n+1)-f(n)=(n+1)^2
Alors f(n)=Sn pour tout entier n.

Merci à tous !

[annick]

Bonsoir,

Posons comme principe de récurrence que f(n)=S(n)

Vérifions que c'est vrai pour 0 :
f(0)=S(0)=0, ce qui est vrai

Calculons f(n+1)=f(n)+(n+1)²
Or comme on a posé que f(n)=S(n) est vrai,

f(n+1)=S(n)+(n+1)²=S(n+1)

Donc f(n)=(Sn) est vrai quelque soit n

J'espère que cela t'éclairera, même si je n'ai pas été totalement rigoureuse par rapport aux phrases exactes que l'on te demande pour rédiger.