Principe des tiroirs

[t.itou29]

Bonsoir,
Je bloque sur le problème suivant sur le principe des tiroirs :

Montrer que pour tout entier m>0 il existe des entiers a et b tels que:
(1)
(2)
(3)

J'ai une piste mais je crois qu'elle mène nulle part:
Si a et b respectent (1) et (2) on peut former sommes distinctes non nulles et on a .
On partitionne alors en intervalles de longueur . Par le principe des tiroirs il existe a,b,c,d tels que:
(deux sommes dans un même intervalle)
Le problème c'est que rien ne me dit que (a-b) et (c-d) vérifient (1) et (2) ...

[Ben314]

Salut,
A mon avis le principe est bon, mais pas il y a quelques erreurs dans les calculs...

1) tu affirme "...sommes distinctes non nulles..." alors que la somme peut parfaitement être nul (rien n'interdit de prendre a=b=0). Mais de toute façon, on s'en fout vu qu'à la fin, ce qui va jouer le rôle du a et du b de l'énoncé, c'est ton (a-b) et ton (c-d) donc il faudra seulement dire pourquoi on n'a pas simultanément a=b et c=d.

2) (2m+1)²=4m²+4m+1 et quand tu retranche un (pour avoir strictement moins de tiroirs que de chaussettes), ça fait 4m(m+1) donc lorsque tu divise ton intervalle de largeur 2m(1+sqrt(2)) par ça, ça fait quasiment 2 fois plus petit que ce qu'on te demande de montrer.
Par contre, effectivement, ton (a-b) et ton (c-d) il ne ont pas forcément plus petit (en valeur absolue) que m.
Tout ce qu'on peut dire c'est qu'ils sont plus petit que 2m donc 2 fois trop gros par rapport à ce qui est demandé...

Conclusion : c'est... quasi bon... à un détail près...

[t.itou29]

Salut,
A mon avis le principe est bon, mais pas il y a quelques erreurs dans les calculs...

1) tu affirme "...sommes distinctes non nulles..." alors que la somme peut parfaitement être nul (rien n'interdit de prendre a=b=0). Mais de toute façon, on s'en fout vu qu'à la fin, ce qui va jouer le rôle du a et du b de l'énoncé, c'est ton (a-b) et ton (c-d) donc il faudra seulement dire pourquoi on n'a pas simultanément a=b et c=d.

2) (2m+1)²=4m²+4m+1 et quand tu retranche un (pour avoir strictement moins de tiroirs que de chaussettes), ça fait 4m(m+1) donc lorsque tu divise ton intervalle de largeur 2m(1+sqrt(2)) par ça, ça fait quasiment 2 fois plus petit que ce qu'on te demande de montrer.
Par contre, effectivement, ton (a-b) et ton (c-d) il ne ont pas forcément plus petit (en valeur absolue) que m.
Tout ce qu'on peut dire c'est qu'ils sont plus petit que 2m donc 2 fois trop gros par rapport à ce qui est demandé...

Conclusion : c'est... quasi bon... à un détail près...

Je m'étais rendu compte que la conditions sommes non nulles était inutile (ça faisait une chausette en moins et â la fin ça ne changeait rien) mais j'ai oublié de le modifier dans mon message. Par contre je comprends pas ce que tu veux dire quand tu dis que c'est deux fois plus petit que ce qu'il est demandé: il y a (2m+1)^2 chaussettes et 2m(m+2) tiroirs et (2m+1)^2>2m(m+2) donc c'est bon ?
Pour (a-b) et (c-d) soit je montre que c'est impossible que la condition (3) soit vérifiée mais pas la (1) et (2) (mais je suis même pas sur que ce soit vrai...), soit je construis une solution qui convient à partir de (a-b) et (c-d) (mais je vois pas comment faire) ou alors faut que je recommence tout avec une nouvelle méthode...