[ RESOLU ] primitive et intégral

par **haricot29** » 24 Mar 2007, 17:19

Je fais l'exo au fur et à mesure si vous pouviez me filer un petit coup de pouce quand ça va pas, merci :we: :we:

On considere les intégrales :
I = intégral de 0 à pi/4 de : dx/(cos²x)
J = intégral de 0 à pi/4 de : dx/(cos^(4)x)

1)
a) Quelle est la dérivée de la fonction tangente ?
b) Calculer I

2)
a) Soit la fonction f : [0 ; pi/4 ] --> R
x --> sinx / (cos^(3)x)

Démontrer que f est dérivable sur [0 ; pi/4] et que, pour tout x appartenant à cet intervalle :
f'(x) = [3/cos^(4)x ] - [2/ cos²x]
b) Déduire du calcul précédent une relation entre I et J, puis calculer J.

Les questions en rouges ont déjà étaient faites !

par **haricot29** » 24 Mar 2007, 17:22

1) a)
f(x) = tan x = sin x / cos x
f'(x)
= [ cos x * cos x - cos x (-sin x) ] / (cos x)²
= 1/ cos²x ou = 1+tan²x

ça c'est bon ?

1) b)
intégral de 0 à pi/4 de : dx / cos²x = [ tanx ] de 0 à pi/4
F(pi/4) - F(0) = 1 - 0 = 1

C'est bon ça ?

par **haricot29** » 24 Mar 2007, 17:58

il y aurais quelqu'un pour medire si 1)a) et 1)b) sont ok ?
et je ne sais pas comment onfait pour montrer une déivabilité sur un intervalle, c'est la meme chose que pour une dérivabilité en un seul point ?!

par **haricot29** » 24 Mar 2007, 18:40

il y aurais quelqu'un pour medire si 1)a) et 1)b) sont ok ?
et je ne sais pas comment onfait pour montrer une déivabilité sur un intervalle, c'est la meme chose que pour une dérivabilité en un seul point ?!

par **amine801** » 24 Mar 2007, 18:45

oui c'est ok pour les deux :we:

par **oscar** » 24 Mar 2007, 19:25

Bonsoir

Tout est bon:tu connais très bien tes formules

Bon W E

par **haricot29** » 24 Mar 2007, 20:44

je sais que la définition de la fonction dérivable c'est :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On dit que f est dérivable en x , lorsque la courbe représentative de f admet au point d'abscisse x, une tangente non verticale (non parallèle à l'axe des ordonnées).

mais je ne sais pas comment on le démontre... :marteau:

par **haricot29** » 25 Mar 2007, 12:20

je sais que la définition de la fonction dérivable c'est :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On dit que f est dérivable en x , lorsque la courbe représentative de f admet au point d'abscisse x, une tangente non verticale (non parallèle à l'axe des ordonnées).

mais je ne sais pas comment on le démontre... :marteau:

par **amine801** » 25 Mar 2007, 13:58

c'est une fonction est defnie sur tout l'intervalle tu peux dire
quelle est derivable comme compose somme ....ect de fonction derivable
il faut juste etudier la derivabilité au point qui pose probleme

par **haricot29** » 25 Mar 2007, 14:13

amine801 a écrit:c'est une fonction est defnie sur tout l'intervalle tu peux dire
quelle est derivable comme compose somme ....ect de fonction derivable
il faut juste etudier la derivabilité au point qui pose probleme

ok donc je dis :
La fonction f est définie sur l'intervalle [0 ; pi/4 ].
f est dérivalbe sur [0;pi/4] comme produit de fonctions dérivables.
x--> sinx / cos^(3)x = sinx/1 * 1/cos^(3)x

C'est ça ?
Pourquoi toi tu dis en temps que somme ? somme de quoi ?

par **amine801** » 25 Mar 2007, 14:24

produit somme et composition juste pour que tu sache quoi faire
dans le cas general

par **haricot29** » 25 Mar 2007, 14:28

La fonction f est définie sur l'intervalle [0 ; pi/4 ].
x--> sinx / cos^(3)x = sinx/1 * 1/cos^(3)x

sinx/1 est dérivable sur R donc sur [0;pi/4]
1/ cos^(3)x est dérivable sur [0;pi/4 ]

D'ou f est dérivalbe sur [0;pi/4] comme produit de fonctions dérivables.

Mais il faut peut etre que je prouve que sinx/1 et 1/cos^(3)x sont bien dérivables pour cela je fais comment ?!

par **amine801** » 25 Mar 2007, 14:34

ta rien a prouve
par definition sin(x) et cos(x) sont derivable alors
alors cos^3(x) derivable comme compositon de deux fonction derivable
x^3 et cos(x)
apres on peux dire que le quotient est derivable vue qu'il n'ya pas de probleme
de denominateur null sur l'intervalle d'etude

par **haricot29** » 25 Mar 2007, 14:56

2)b) montrer que pour tt x apparetenat a [0;pi/4]
f'(x) = [3/cos^(4)x ] - [2/ cos²x]

f(x) = sinx / cos^(3)x

u(x) = sinx
u'(x) = cosx

v(x) = cos^(3)x
v'(x) = -sinx^(3)x

f'(x) = (u'v - uv') / v²
Mais ça ne marche pas ?!

par **amine801** » 25 Mar 2007, 15:04

donc il faut corriger ton v'

par **haricot29** » 25 Mar 2007, 15:07

amine801 a écrit:
donc il faut corriger ton v'

f(x) = sinx / cos^(3)x

u(x) = sinx
u'(x) = cosx

v(x) = cos^(3)x
v'(x) = 3cos²x*-sinx

f'(x) = (u'v - uv') / v²

comme cela ça doit marcher ?...

par **amine801** » 25 Mar 2007, 15:11

oui c'est mieux comme ca :we:

par **haricot29** » 25 Mar 2007, 15:20

f(x) = sinx / cos^(3)x

u(x) = sinx
u'(x) = cosx

v(x) = cos^(3)x
v'(x) = 3cos²x*-sinx

f'(x) = (u'v - uv') / v²
= [ (cosx * cos^(3)x) - (sinx *3cos²x*-sinx) ] / [cos^(3)x]²
= ( cos^(4)x + sin²x*3cos²x ) / cos(x)^6
= [ cos^(4)x / cos^(6)x ] + [ (sin²x *3cos²x) / cos^(6)x ]

Mais après je ne vois pas comment conyinuer pr arriver au résultat attendu !

par **amine801** » 25 Mar 2007, 15:28

sin²(x)=1-cos²(x)
a partir de ctte ligne:
= ( cos^(4)x + sin²x*3cos²x ) / cos(x)^6

par **haricot29** » 25 Mar 2007, 15:35

amine801 a écrit:sin²(x)=1-cos²(x)
a partir de ctte ligne:
= ( cos^(4)x + sin²x*3cos²x ) / cos(x)^6

f'(x) = (u'v - uv') / v²
= [ (cosx * cos^(3)x) - (sinx *3cos²x*-sinx) ] / [cos^(3)x]²
= ( cos^(4)x + sin²x*3cos²x ) / cos(x)^6
= ( cos^(4)x + (1-cos²(x)*3cos²x) / cos(x)^6
= ( cos^(4)x + 1 - 3cos^(4)x ) / cosx^(6)
= (1 - 2cos^(4)x) / cosx^(6)

Et la ?!

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