Primitive : exponentielle

[upium666]

Bonjour à tous et à toutes !



La réponse attendue, je la dévoile, est , mais quelle est la démonstration élémentaire complète pour y arriver ?

Merci

[ampholyte]

Bonjour,

Au vu de la forme de l'intégrale, on s'attend à une primitive de la forme u/v donc sa dérivée est de la forme (u'v - uv')/ v².

On pose v = (x + 1), v' = 1;

Essayons de réécrire différemment l'intégrale :



On reconnaît la forme (u'v - uv')/v² avec u = e^x et v = (x + 1) d'où le résultat.

[Black Jack]

x.e^x/(1+x)² = (1+x-1).e^x/(1+x)² = e^x/(1+x) - e^x/(1+x)²

S e^x/(1+x) dx
IPP en posant : e^x dx = dv et u = 1/(1+x)
S e^x/(1+x) dx = e^x/(1+x) + S e^x/(1+x)² dx

S e^x/(1+x) dx - S e^x/(1+x)² dx = e^x/(1+x)
S x.e^x/(1+x)² dx = e^x/(1+x)

:zen: