Preuve à une implication

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
beka
Membre Naturel
Messages: 23
Enregistré le: 18 Oct 2018, 17:09

preuve à une implication

par beka » 31 Aoû 2019, 20:38

Bonsoir tout le monde
je cherche à prouver que quelque soit deux réel a et b dans R
si |a| <1 et |b| <1 alors |a+b| <|1+ab|
je sais pas d'ou commencer , j'aimerais avoir vos idée
Merci d'avance



Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21483
Enregistré le: 11 Nov 2009, 21:53

Re: preuve à une implication

par Ben314 » 31 Aoû 2019, 20:47

Salut,
Déjà, vu que |a|<1 et |b|<1 on a |ab|<1x1=1 c'est à dire -1<ab<1 et ça prouve en particulier que 1+ab>0 et donc que |1+ab|=1+ab.
Ensuite, montrer que |a+b| < 1+ab, ça revient très précisément à montrer que -(1+ab) < a+b < 1+ab, c'est à dire que 1+ab+a+b > 0 et que 1+ab-a-b >0 [du fait de la fameuse règle des signes vue au collège, c'est toujours plus simple de montrer qu'un truc est plus grand ou plus petit que 0]
Enfin, pour utiliser cette fameuse règle des signes, il faut factoriser 1+ab+a+b (ainsi que 1+ab-a-b) et là . . . je te laisse un peu chercher . . . mais c'est pas bien difficile.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

beka
Membre Naturel
Messages: 23
Enregistré le: 18 Oct 2018, 17:09

Re: preuve à une implication

par beka » 31 Aoû 2019, 21:10

Merci infiniment votre réponse était bien claire , j'ai pu démontrer le reste . Merci encore une fois

beka
Membre Naturel
Messages: 23
Enregistré le: 18 Oct 2018, 17:09

Re: preuve à une implication

par beka » 31 Aoû 2019, 21:11

Ben314 a écrit:Salut,
Déjà, vu que |a|<1 et |b|<1 on a |ab|<1x1=1 c'est à dire -1<ab<1 et ça prouve en particulier que 1+ab>0 et donc que |1+ab|=1+ab.
Ensuite, montrer que |a+b| < 1+ab, ça revient très précisément à montrer que -(1+ab) < a+b < 1+ab, c'est à dire que 1+ab+a+b > 0 et que 1+ab-a-b >0 [du fait de la fameuse règle des signes vue au collège, c'est toujours plus simple de montrer qu'un truc est plus grand ou plus petit que 0]
Enfin, pour utiliser cette fameuse règle des signes, il faut factoriser 1+ab+a+b (ainsi que 1+ab-a-b) et là . . . je te laisse un peu chercher . . . mais c'est pas bien difficile.

Merci infiniment votre réponse était bien claire , j'ai pu démontrer le reste . Merci encore une fois

Avatar de l’utilisateur
chan79
Modérateur
Messages: 10330
Enregistré le: 04 Mar 2007, 19:39

Re: preuve à une implication

par chan79 » 01 Sep 2019, 09:02

beka a écrit:si |a| <1 et |b| <1 alors |a+b| <|1+ab|

salut
il suffit de montrer (a+b)²<(1+ab)²
a²+b²+2ab<1+2ab+a²b²
a²(1-b²)<1-b²
a²<1

à condition de bien justifier...

 

Retourner vers ✎✎ Lycée

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 68 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite