Preuve que √2 n'est pas rationnel

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Akainu
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Preuve que √2 n'est pas rationnel

par Akainu » 14 Juin 2024, 16:50

Bonjour,

Je souhaite avoir une preuve que √2 ne peut pas s'écrire sous forme de fraction réductible.

Je précise bien de fraction réductible et non irréductible, j'ai déjà pris connaissance de la preuve que √2 ne pouvait pas s'écrire sous la forme irréductible avec une preuve par l'absurde.

Mais je n'arrive pas à comprendre en quoi démontrer que √2 ne peut pas s'écrire sous forme irréductible est une preuve qu'elle ne peut pas s'écrire sous forme réductible.

Si on part du principe que √2 = a / b avec a et b des entiers non nuls, et cette fraction est totalement réductible, comment je fais pour démontrer qu'elle est fausse ?

Peut être qu'il faut une autre preuve qu'une preuve par l'absurde ?



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Ben314
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Re: Preuve que √2 n'est pas rationnel

par Ben314 » 14 Juin 2024, 20:57

Salut,
Ben faudrait surtout commencer par revoir les cours de collège pour comprendre ce que c'est qu'une fraction.
Certes, 3/4 est 15/20 sont deux fraction telle que la première est écrite sous forme irréductible et pas la seconde. Sauf que ces deux fraction représentent exactement le même nombre donc si un certain réel X (par exemple racine de 2) est égal à 15/20, ben alors il est aussi égal à 3/4.
Bref, si racine(2) pouvait s'écrire sous forme a/b avec a,b eniers quelconques (b non nul), alors, en simplifiant la fraction, il pourrait aussi s'écrire A/B avec A et B sans facteurs communs.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Akainu
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Re: Preuve que √2 n'est pas rationnel

par Akainu » 17 Juin 2024, 16:56

Ben314 a écrit:Salut,
Ben faudrait surtout commencer par revoir les cours de collège pour comprendre ce que c'est qu'une fraction.
Certes, 3/4 est 15/20 sont deux fraction telle que la première est écrite sous forme irréductible et pas la seconde. Sauf que ces deux fraction représentent exactement le même nombre donc si un certain réel X (par exemple racine de 2) est égal à 15/20, ben alors il est aussi égal à 3/4.
Bref, si racine(2) pouvait s'écrire sous forme a/b avec a,b eniers quelconques (b non nul), alors, en simplifiant la fraction, il pourrait aussi s'écrire A/B avec A et B sans facteurs communs.


Je sais déjà ce qu'est une fraction et que plusieurs peuvent représenter le même nombre, j'ai un peu mieux compris la preuve mais il y a quand même une zone d'ombre, je pose la question au cas où :

Code: Tout sélectionner
sqrt(2)

sqrt(2) = a / b

2 = a**2 / b**2

a**2 = 2 * b**2

a = 2K

a**2 = 2 * b**2

2K**2 = 2 * b**2

4K**2 = 2b**2

4K**2 / 2 = 2b**2 / 2

2K**2 = b**2

b = 2K


Pourquoi ici à partir de 2K**2 on fait le calcul qu'on est pas obligé de faire afin d'obtenir 4K**2, après ça en effet lorsqu'on divise des deux côtés par deux on obtient b**2 qui est pair donc b qui est pair.

Mais si on garde le 2K**2 on a ça : 2K**2 = 2b**2

Et si on divise par 2 des deux côtés on obtient ceci : K**2 = b**2

Et alors là b**2 n'est plus forcément pair et la preuve ne fonctionne plus.

Est-ce que je passe à côté de quelque chose ?

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Ben314
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Re: Preuve que √2 n'est pas rationnel

par Ben314 » 17 Juin 2024, 19:47

Si alors n'est pas égal à (qui est ce que tu as écrit) mais à .
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