Preuve par réccurence Fibonacci

[NBN]

Voila on me donne ceci mais je n'arrive pas à faire les deux numéro!

Le nombre de couples de lapin pour chaque mois est 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... C'est la suite
de Fibonacci. Elle a la propriété que chaque élément de la suite est la somme des deux
précédents.

[titine]

Cette suite est définie par :
F(1) = 1 ; F(2) = 1 et F(n+2) = F(n) + F(n+1)

Montrons que : F(1) + F(2) + ... F(n) = F(n+2) - 1
Initialisation : On a bien F(1) = F(1+2) - 1 car F(1) = 1 et F(3) - 1 = 2 - 1 = 1
Hérédité :
On suppose que F(1) + F(2) + ... F(n) = F(n+2) - 1
Et on veut montrer que : F(1) + F(2) + ... F(n+1) = F(n+3) - 1
F(1) + F(2) + ... F(n+1) = F(1) + F(2) + ... F(n) + F(n+1) = F(n+2) + F(n+1) - 1 (d'après l’hypothèse de récurrence)
Or, par définition de la suite on a : F(n+2) = F(n) + F(n+1) donc F(n+3) = F(n+1) + F(n+2)
Par conséquent :
F(1) + F(2) + ... F(n+1) = F(n+2) + F(n+1) - 1 = F(n+3) - 1 (ce qu'il fallait montrer)

[NBN]

Merci beaucoup!!

et pour la deuxième quelqu'un sait?

[tototo]

Voila on me donne ceci mais je n'arrive pas à faire les deux numéro!

Le nombre de couples de lapin pour chaque mois est 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... C'est la suite
de Fibonacci. Elle a la propriété que chaque élément de la suite est la somme des deux
précédents.

Bonjour,

Somme Fi^2 = Fn * Fn+1

somme (n+1) Fi^2=somme(n)Fi^2 +Fn+1*Fn+1 = Fn+1(Fn+Fn+1)= Fn+1*Fn+2 donc la propriété est vrai pour tout n