Première trouver l'inconnue

[min68]

Bonjour,
Voilà j'ai le sujet suivant à rendre et je ne parviens pas à résoudre le problème. J'ai essayer de comprendre avec 50 à la place de X mais j'ai bien peur que çà ne soit pas le bon résultat. Merci d'avance pour votre aide.

Des fourmis se déplacent en ligne droite, à la queue leu leu, à vitesse constante, en formant une colone de X cm de long. La dernière fourmi du groupe décide d'aller ravitailler la fourmi en chef et pour cela rejoint la tête de la colone puis, sa mission étant accomplie, retourne aussitôt à la queue de la colone.

Sachant que, pendant cet aller-retour, la vitesse de cette fourmi est restée constante et que la colonne a parcouru X cm, déterminer en fonction de X la distance parcourue par la fourmi ravitailleuse.

[Ben314]

Salut,
C'est un énoncé "pas très facile" qui, a mon sens peut être résolu de plusieurs façons :
1) Soit sans astuces, mais avec plusieurs "lettres" pour désigner tout les valeurs qu'on ne connait pas (vitesse de la colonne de fourmi + vitesse de la fourmi qui va ravitailler le chef)
2) Soit avec un peu plus d'astuce pour avoir moins de "lettres" dans les formules qu'on va écrire (et moins de calculs)

A froid, j'aurais tendance à suggérer de commencer plutôt avec la méthode 1), quitte à ensuite chercher en direction du 2).
Donc, ça signifie de commencer par dire "appelons V la vitesse de la colonne et W celle de la fourmi ravitaillante".
- Combien de temps va-t-elle mettre pour remonter toute la colonne (évidement en fonction de X, V et W) ?
- Et pour le retours ?
- Quel temps a-t-elle mis au total ?
- Quelle distance D a-elle-parcourue ? (c'est ce D qu'il faut qu'on détermine et rien d'autre)
- Durant ce laps de temps, la colonne a avancé de combien ?
- D'un autre coté, vu que l'énoncé nous dit que la colonne a avancé de X, quelle équation a-t-on ?
- Calculs pour déterminer D en partant de l'équation obtenue.

Et si tu arrive à le faire avec cette méthode, tu réfléchira ensuite pour voir s'il n'y avait pas moyen de faire "plus rapide" (i.e. s'il n'y a pas des trucs que tu as calculé qui n'était pas franchement utiles)

[chan79]

salut
tu peux faire un graphique qui montre les mouvement de la tête du groupe, de la queue du groupe et de la ravitailleuse. C'est simple puisque les vitesses sont constantes. On peut aussi faire un raisonnement direct.

[min68]

Voilà, j'ai associé les lettres suivantes :

V : Vitesse de la colonne
W : Vitesse de la fourmi ravitailleuse
T1 : Temps aller de la fourmi ravitailleuse
T2 : Temps retour de la fourmi ravitailleuse
D1 : Distance aller de la fourmi ravitailleuse
D2 : Distance retour de la fourmi ravitailleuse

Je me demandais si je devais aussi associer des lettres à la distance parcourue et au temps écoulé par la colonne. Car ci-dessus je n'évoque pas le temps et la distance. Je n'évoque que la vitesse. ( Excusez- moi mais je ne suis pas très forte en mathématiques et encore moins dans ce genre de problème ).

[Ben314]

Des lettres, a priori, tu peut bien en utiliser autant que tu veut, mais ce qu'il faut bien comprendre, c'est que l'idéal, c'est de tout exprimer à l'aide d'un "petit" nombre de lettres "de départ".

Par exemple là, le "temps aller de la fourmi ravitailleuse", si tu veut, tu peut l'appeler T1, ça ne "mange pas de pain", mais surtout, ce qu'il faut, c'est arriver à l'exprimer en fonction de X, V et W :

Avec un peu de bon sens, on se dit que, si on connaissait effectivement la longueur X de la colonne, sa vitesse V et la vitesse W de la ravitailleuse, on pourrait tout calculer et cela signifie qu'on doit pouvoir tout écrire en fonction de X, V et W.

Pour commencer par le début, a ton avis, que vaut T1 en fonction de X, V et W
Remarque : Rien que ça, c'est pas super facile comme question et, éventuellement, on peut même être amener à poser une équation pour trouver la réponse (mais on y arrive aussi sans équation)
Si ça peut t'aider, prend un exemple : X=5m ; V=2m/s ; W=3m/s (il faut forcément W>V pour qu'elle rattrape toute la colonne)

[nodgim]

Il faut surtout bien raisonner et peut être oublier cette histoire d'aller-retour qui embrouille: Pendant un certain temps la fourmi ravitailleuse a marché à telle vitesse, et pendant ce même temps la colonne a avancé à telle vitesse. ça suffit pour répondre.

[min68]

d'accord merci beaucoup effectivement je vais essayer de prendre des chiffres comme exemple ça va sûrement m'aider puis je vais eviter de m'embrouiller avec l'histoire de l'aller retour

[min68]

Soit V: la vitesse de la colonne
Soit W: la vitesse de la fourmi ravitailleuse
Soit t1: temps aller de la fourmi ravitailleuse
Soit t2: temps retour de la fourmi ravitailleuse
D1: distance aller
D2: distance retour

Donc D1= W*t1 = V*t1+X
D2= W*t2 = X-V*t2
Donc t1= X/W-V
t2= X/W+V

Résultat: X*V/W-V + X*V / W+V = X

Or X= W/V alors X au carré - 2X-1 = 0 donc W= (1+racine de 2)*V
Nous obtenons la solution suivante: la distance parcourue par la fourmi
ravitailleuse et égal à X (1+racine de 2) centimètre

Pouvez-vous me dire si c'est à peut près correct. Merci de vos réponses

[Ben314]

Ca me semble tout bon modulo quelques détails :
- Met des parenthèse par exemple quand tu écrit t1=X/(W-V) : les multiplications/divisions sont prioritaire sur les additions/soustraction donc X/W-V ça veut dire (X/W)-V.
C'est une convention, donc on peut dire qu'on s'en fout, sauf que c'est quand même super pratique que tout le monde ait la même convention et il s'avère que c'est celle là qui a été choisie [sans parler du fait que tout les langages de programmation acceptent que tu écrive X/W-V et l'interprètent comme voulant dire (X/W)-V]
- Ton truc prête un peu à confusion au milieu vu que tu réutilise la même lettre X pour désigner W/V alors qu'on s'en servait déjà pour autre chose.

[min68]

Du coût au milieu pour ce qui porte à confusion, je peux remplacer par :

a = W/V alors a au carré - 2a - 1 = 0

[Ben314]

Par exemple.
Perso., sur mon brouillon, je l'avais appelé R (comme "rapport"), mais on s'en fout complètement...

[min68]

Donc je peux quand-même garder le a ???

[Ben314]

Tout a fait oui, tu peut même l'appeler "toto" si ça t'amuse (encore qu'en math., très souvent on se limite à une seule lettre).
Si tu veut faire dans "l'exotique", tu peut l'appeler ("alpha" : alphabet grecque) voire ("aleph" : alphabet hébreu)
Si tu veut faire dans le "bizarre", tu peut l'appeler (un carré...) ou
Le tout, c'est de pas prendre une lettre où un symbole que tu as déjà utilisé dans l'exercice ou bien qui signifie usuellement autre chose (par exemple d'appeler une variable , c'est pas forcément très malin...)

Après, il y a aussi des tas de convention que tout le monde respecte plus ou moins : par exemple c'est à Descarte qu'on doit l'habitude de prendre les lettres de la fin de l'alphabet (...,x,y,z) plutôt comme variables et celle du début (a,b,c,...) comme des constantes (exemple classique du polynôme de degré 2 qu'on écrit P(x)=ax²+bx+c).
Sauf que Descartes mettait aussi assez systématiquement des majuscules pour les paramètres et on ne le fait plus.
Avant lui, Viète était parti sur la logique constantes=consonnes ; inconnues=voyelles, mais l'habitude n'est pas resté...

[min68]

D'accord
Vraiment merci beaucoup pour votre aide çà m'à été très utile, pour une fois je n'ai pas appliquer sans réfléchir mais j'ai compris. Et merci pour cette parenthèse culture
Bonne soirée à vous

[nodgim]

Je ne suis pas sûr d'avoir compris la réponse de Min68.
Si la ravitailleuse va R fois plus vite que la colonne, elle parcourra R*X cm pendant son Aller Retour, non ?

Ben ?

[nodgim]

Pardon, je n'avais pas vu le X écrit 2 fois dans l'énoncé.
C'est bon pour moi.

[chan79]

Pour comparer: méthode graphique:

Origine: moment et lieu où la ravitailleuse démarre.
mouvement le la queue de colonne: où est la vitesse de la colonne
mouvement de la tête de colonne: avec longueur de la colonne
point d'ordonnée de la première droite, correspond au moment où la colonne a parcouru .

mouvement aller de la ravitailleuse (en rouge)
B correspond au moment où elle rattrape la tête
on résout


On trouve
mouvement retour de la ravitailleuse (à la même vitesse )

comme la droite passe par B, on trouve
Equation du mouvement retour:

Les coordonnées de C doivent vérifier cette équation, ce qui donne: (les X disparaissent)

puis

la distance parcourue demandée est

En remplaçant par on obtient

Conclusion: moins intéressant que la méthode de min68 car plus de calculs, mais à connaître quand même