Première S problèmes trois inconnues

[Zappa]

Bonjour,

Je n'arrive pas à résoudre trois exercices de mon DM :

1) Un triangle a trois côtés de longueurs a, b et c telles que :
a² + b² + c² = ab + bc + ca
Démontrer que le triangle est équilatéral.
=> J'ai essayé de factoriser mais je suis bloqué.

2) Soient a, b et c trois entiers impairs. Montrer que l'équation ax² + bx + c = 0 n'a pas de solution rationnelle.
=> Je suis parti du principe qu'un nombre impair s'écrit 2n-1. J'ai ensuite essayé de calculé le discriminant, mais je suis bloqué : je ne vois pas comment on peut déterminer s'il y a des solutions et si elles sont rationnelles.

3) Trouver trois entiers naturels non nuls a, b et c tels que :
abc + ab + bc + ac + a+ b+ c = 1000.
=> J'ai tenté de factoriser, mais je suis bloqué et je ne vois pas comment résoudre l'équation.

Pourriez-vous m'aider ?

Merci par avance.

[oscar]

Bonsoir

1) a² = b² + c² -2bc cos 60°
=>a² = b² +c² -bc(cos 60° = 1/2)
et b² = a² + c² - ac
er c² = a² +b² - ab

=> a²+b²+c² = 2a² +2b² +2c² -(ab+bc+ac)
<=> a²+b² +c² =ab + bc + ac si les angles A;B:C sont = à 60°
ou le triangle ABC est équilatéral

[Thalès]

Oui, la première question est faisable en utilisant le théorème de Al Kashi (loi des cosinus) en considérant l'angle égal à 60°

[Thalès]

On considère que x est un nombre rationnel tel que : x=n/m où n et m sont premiers entre eux, et que les nombres a,b et c s'écrivent respectivement de la forme : 2k-1, 2k'-1,2k''-1 (car ils sont impairs)
ax²+bx+c=0
a(n/m)²+b(n/m)+c=0
an²/m²+bnm/m²+cm²/m²=0
an²+bnm+cm²=0
n²(2k-1)+nm(2k'-1)+m²(2k''-1)=0
2kn²-n²+2k'nm-nm+2k''m²-m²=0
n²+m²+nm=2(kn²+k'nm+k''m²) , donc n²+m²+mn est pair
n et m sont des entiers premiers entre eux
si n est pair , m est impair , donc n²+m²+nm sera impair
si m est pair, n est impair, donc n²+m²+mn sera impair aussi
Donc on aboutit à une contradiction
D'où il n'existe pas de nombre rationnel x qui vérifie l'équation.

[Zappa]

Eh bien merci pour les réponses,

1) Le "théorème d'Al Kashi", je ne l'ai pas encore vu, donc pas possible de l'utiliser. Par contre, j'ai finalement réussi :
a²+b²+c²-ab-bc-ca=0
2(a²+b²+c²-ab-bc-ca)=0*2
a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+c²-2ac-a²=0
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0
a-b=0 et b-c=0 et c-a=0
donc a=b=c

2) OK. J'étais aussi parti du principe que a=2k-1, etc, mais je ne n'avais pas pensé aux nombres pairs et impairs pour résoudre.

[Thalès]

abc+ab+bc+ac+a+b+c=1000
abc+ab+bc+ac+a+b+c+1=1001
Tu peux remarquer que : (a+1)(b+1)(c+1)=abc+ab+bc+ac+a+b+c+1
donc (a+1)(b+1)(c+1)=1001
1001= 7 . 11 . 13
donc a+1, b+1 et c+1 vont se partager les trois valeurs : 7,11 et 13
donc : (a;b;c)=(6;10;12)

[Thalès]

a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+c²-2ac-a²=0

ça serait plutôt +a² à la fin et non pas -a²
Sinon je connais un exercice interessant qui ressemble parfaitement au premier, il est interessant, tu peux essayer de le résoudre :
Un triangle a trois côtés de longueurs a, b et c telles que : a^3+b^3+c^3=3abc
Quel est la nature du triangle?
Voilà

[Zappa]

Encore merci.

Mais je me demande : ce raisonnement est-il utilisable ? Il est surtout basé sur des "on remarque". Je veux dire que vous n'avez pas vraiment fait de calculs ...

[Zappa]

ça serait plutôt +a² à la fin et non pas -a²

Euh oui, je me suis trompé ...

[Thalès]

Mais je me demande : ce raisonnement est-il utilisable ? Il est surtout basé sur des "on remarque". Je veux dire que vous n'avez pas vraiment fait de calculs ...

Ce n'est pas une remarque, c'est une factorisation
Il fallait ajouter un +1 dans chaque coté de l'équation afin de pouvoir factoriser l'expression abc+ab+bc+ac+a+b+c+1 qui donne (a+1)(b+1)(c+1)
et utiliser le 1001 qui peut être écrit sous forme de produit de trois nombres premiers, à savoir 7,11 et 13