Pouvez-vous me corriger ? s'il vous plait.

[Lency410]

Bonjours, j'ai deux exercices à faire. J'ai commencé et je voudrais que vous me dissiez ce qui ne va pas dans mes réponses ou ma façon de faire. Merci.

Voila le sujet:

Exercice 1: Résoudre dans C les équations suivantes. Donner le résultat sous forme algébrique. (détaillez les calculs et pensez à vérifier à l'aide de votre calculatrice)


1. 2z-3i=(1+i)z+4-2i

2. z=2z(barre)-3+6i


Tout part de i^2=-1 ...


1.Résoudre dans c l'équation z^2=-3

2.On cherche tous les nombre complexes z tels que z^2-8z+41=0
(a) Vérifier que z^2-8z+41=(z+4)^2+25.
(b) En déduire les solutions de l'équation z^2-8z+41=0.
(c) Que peut-in remarquer sur les solutions?



Exercice 2: On considère les suites définies, pour tou entier naturel n, ao=0 et bo=12 et
an+1=(2an+bn)/3 et bn+1=(an+2bn)/3

1.Calculer a1, b1, a2 et b2.

2.On considère la suite (Un) définie, pour tout entier naturel n, par Un=bn-an.
(a) Montrer que la suite (Un) est une suite géométrique de raison q=1/3
(b) En déduire l'expression de Un, en fonction de n.

3.On considère la suite (Vn) définie, pour tout entier naturel n, par Vn=an+bn. Démontrer que la suite (Vn) est une suite constante.

4.(a) Exprimer an et bn en fonction de Un et Vn, puis en fonction de n.
(b) En déduire les limites des suites (an) et (bn).



Mes réponses:

Exercice 1:

1.
2z-3i=(1+i)z+4-2i
z(2-1-i)=4-2i+3i
z=(4-2i+3i)/(2-1-i)
z=(4+i)/(1-i)
z=[(4+i)(1+i)]/2
z=3/2+5/2i

2.
z=2z(barre)-3+6i On pose z=x+iy donc z(barre)=x-iy
(x+iy)=2(x-iy)-3+6i
(x+iy)=2x-2iy-3+6i
0=x-iy-3+6i
0=i(-y+6)+x-3

Im: -y+6
Re: x-3

D'où en identifiant les partie réelles et imaginaires:

-y+6=0
y=6

x-3=0
x=3

alors z=2(2+6i)-3+6i
z=4+18i

Donc z=4+18i est la seule solution de l'équation z=2z(barre)-3+6i
z=(4+i)/(1-i)

Tout part de i^2

1.
Comment dois-je procéder pour résoudre z^2=-3 ?

2.
a)z^2-8z+41=(z-4)(z-4)+25
z^2-8z+41=z^2-4z-4z+16+25
z^2-8z+41=z^2-8z+41

b)z^2-8z+41=0
(x+yi)(x+yi)-8(x+yi)+41=0
x^2+xyi+xyi+yi^2-8x-8iy=0
x^2-6iy-y-8x=0
i(-6y)+x^2-y-8x=0

Pour que l'équation soit égale à zéro (nombre complexe) Im et Re doivent être égale à zéro.

Pour Im:
-6y=0
y=0

Pour Re:
x^2-y-8x=0
x^2-8x=0
x^2/x=+8x/x
x=8

Les solutions de l'équation z^2+8x+41=0 sont y=0 et x=8.

c) Que doit-on remarquer ? A quoi faut-il intéresser ?


Exercice 2:

1.
A1= (2/3)i
B1= (4/3)i
A2= (8/9)i
B2= (10/9)i

2.
a) Un= Bn-An
Pour montrer qu'une suite est géométrique, on montre qu'il existe un réel q constant tel que, pour tout entier n, Un+1=q*Un.
Or Un+1=Bn+1 - An+1
Alors q=Un+1/Un
q= (2/9)i / (2/3)i = 1/3

donc la suite (Un est une suite géométrique de raison q=1/3.

b) Uo=Ao-bo= -2i
Un= Uo*q^n
Un=-2i*(1/3)^n

3. Vn=An+Bn
Une suite Vn est constant si et seulement si q=0.
Or Vn+1=An+1 + Bn+1
Alors q=Vn+1/Vn
q= (18/9)i/(6/3)i= 2i/2i=0

Donc la suite Vn est constante.

4.
a) Vn= An+Bn
d'où An=Vn-Bn
et
Un=Bn-An
d'où Bn= Un+An
Donc An= vn-(un+An)
et bn= Un+(vn-Bn)

(il me reste a déduire les limites des suites.)


Dites-moi ce que vous en pensez.. :hein:

[ampholyte]

Bonjour,

Pour l'exercice 1 :

Exercice 1:

1.
2z-3i=(1+i)z+4-2i
z(2-1-i)=4-2i+3i
z=(4-2i+3i)/(2-1-i)
z=(4+i)/(1-i)
z=[(4+i)(1+i)]/2
z=3/2+5/2i

C'est bon.

2.
z=2z(barre)-3+6i On pose z=x+iy donc z(barre)=x-iy
(x+iy)=2(x-iy)-3+6i
(x+iy)=2x-2iy-3+6i
0=x-iy-3+6i

Attention problème ici :

(x + iy) = 2x - 2iy - 3 + 6i
0 = x - 3iy - 3 + 6i !!

1.
Comment dois-je procéder pour résoudre z^2=-3 ?

On sait que i² = -1 donc :

z² = -3 = 3 * (-1) = 3 * i² = 3i²

Je te laisse poursuivre.

2.
a)z^2-8z+41=(z-4)(z-4)+25
z^2-8z+41=z^2-4z-4z+16+25
z^2-8z+41=z^2-8z+41

Plus proprement à ton niveau :

(z - 4)² = z² - 8z + 16 (identité remarquable)

Pour la rédaction, il vaut mieux partir de :

(z - 4)² + 25 = z² - 8z + 16 + 25 = z² - 8z + 41

et donc retomber sur le résultat attendu et ne pas rester avec une égalité lors de ton développement.

b)z^2-8z+41=0
(x+yi)(x+yi)-8(x+yi)+41=0
x^2+xyi+xyi+yi^2-8x-8iy=0
x^2-6iy-y-8x=0
i(-6y)+x^2-y-8x=0

Pour que l'équation soit égale à zéro (nombre complexe) Im et Re doivent être égale à zéro.

Pour Im:
-6y=0
y=0

Pour Re:
x^2-y-8x=0
x^2-8x=0
x^2/x=+8x/x
x=8

Les solutions de l'équation z^2+8x+41=0 sont y=0 et x=8.

Tu dois utiliser ce que tu as montré dans a).

z² - 8z + 41 = 0

Cela revient à résoudre d'après a)

(z - 4)² + 25 = 0
(z - 4)² - (5i)² = 0

Identité remarquable a² - b² = (a - b)(a + b)

Je te laisse poursuivre.

c) Que doit-on remarquer ? A quoi faut-il intéresser ?

Reprends le calcul, cela sera plus évident quand tu auras les bonnes réponses =).


Pour reprendre, lorsque tu dois détailler le calcul de la partie réelle et de la partie imaginaire, cela signifie qu'il y a une solution te donnant le résultat beaucoup plus rapidement.

[ampholyte]

On passe à l'exercice 2 :

Question :

1) bo = 12 ou bo = 2 ?

2) Pourquoi as-tu des "i" qui traine un peu partout alors qu'ils ne sont pas dans l'énoncé ?

Exercice 2:

1.
A1= (2/3)i
B1= (4/3)i
A2= (8/9)i
B2= (10/9)i

D'accord si on retire les i.

2.
a) Un= Bn-An
Pour montrer qu'une suite est géométrique, on montre qu'il existe un réel q constant tel que, pour tout entier n, Un+1=q*Un.
Or Un+1=Bn+1 - An+1
Alors q=Un+1/Un
q= (2/9)i / (2/3)i = 1/3

donc la suite (Un est une suite géométrique de raison q=1/3.

Le résultat est juste mais la justification est un peu bancal.

Calculons



Le suite Un est donc une suite géométrique de raison 1/3

b) Uo=Ao-bo= -2i
Un= Uo*q^n
Un=-2i*(1/3)^n

Attention ici pourquoi tu as -2i ? :

(ou 12 mais il semblerait que ce soit b0 = 2 et non 12)

3. Vn=An+Bn
Une suite Vn est constant si et seulement si q=0.
Or Vn+1=An+1 + Bn+1
Alors q=Vn+1/Vn
q= (18/9)i/(6/3)i= 2i/2i=0

Même problème que pour 2, la rédaction est pas bonne.

Calculons la différence :



La suite vn est donc constante et vn = vo = 2

4.
a) Vn= An+Bn
d'où An=Vn-Bn
et
Un=Bn-An
d'où Bn= Un+An
Donc An= vn-(un+An)
et bn= Un+(vn-Bn)

Tu n'as pas terminé ton calcul :

Tu sais que et

Donc directement on peut écrire :

et

On a montré que et

Donc :





Je te laisse calculer les limites quand n tend vers +oo.

Je t'invite également à revoir tous les calculs également.

[zygomatique]

pourquoi faire un deuxième topic identique à http://www.maths-forum.com/bonjours-a-j-ai-besoin-d-un-d-aide-164313.php

.... :marteau:

[ampholyte]

pourquoi faire un deuxième topic identique à http://www.maths-forum.com/bonjours-a-j-ai-besoin-d-un-d-aide-164313.php

.... :marteau:

Rofl j'ai pas fait attention T_T

[Lency410]

Pour l'exercice 2 j'ai fait une faute de frappe, bo=2i !!
Merci de votre aide, je vais refaire tout cela et vérifier mes calcules..

[ampholyte]

Awy en effet cela change tout.

Mais le principe reste le même =).

[Lency410]

Pour les limites des suites An et Bn:

Lim An = +inf
n->+inf

Lim Bn = +inf
n->+inf

es-ce correcte ? (sachant qu'on prend en compte le i du coup)

[ampholyte]

Peux-tu mettre ce que tu obtiens comme expression pour an et bn en fonction de n ?

[Lency410]

An= (2-2i(1/3)^n)/2= 1- (1/3)^n *i

Bn= (2+2i(1/3)^n)/2= 1+(1/3)^n *i

[ampholyte]

Merci, les limites ne sont pas +oo.

Que peux-tu dire de la limite :



Donc :

[Lency410]

Que peux-tu dire de la limite :

\lim_{n \to +\infty}{3^n} = "+oo"

Donc :
\lim_{n \to +\infty} (\frac{1}{3})^n = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{3^n} = "0"




Lim An= 1
Lim Bn= 1

[Lency410]

Merci, les limites ne sont pas +oo.

Que peux-tu dire de la limite :

"+oo"

Donc :

Lim An= 1
Lim Bn= 1
:hein:

[ampholyte]

Lim An= 1
Lim Bn= 1
:hein:

Je suis d'accord =).

[Lency410]

Merci :)