DM pour vendredi, besoin d'aide ! (polynômes)

[Seignosse]

Au secouuurs !!

Je suis en 1ère S, et j'ai un DM à rendre pour vendredi, voici l'énoncé :



Problème : Démontrer que le produit de quatre entiers naturels consécutifs augmenté de 1 est le carré d'un entier naturel.


I] Comprendre l'énoncé

a) Choisir quatre entiers naturels consécutifs, calculer leur produit, ajouter 1 au résultat. Vérifier que l'on obtient le carré d'un entier naturel.

b) Envisager d'autres exemples.


II] Cas général

On note n un entier naturel.

a) Exprimer en fonction de n les trois entiers naturels suivants.

b) Développer le produit de ces quatre entiers naturels augmenté de 1.

c) On se propose de démontrer qu'il existe un polynôme P tel que pour tout réel x,

x^4 + 6x^3 + 11x² + 6x +1 = [P(x)]²

Quel doit être le degrès de P ?
Ecrire la forme générale d'un tel polynôme.
Déterminer alors un tel polynôme P.

d) Conclure.



Voilà, je bloque à la question c) du II], et ça m'empêche d'avancer dans l'exercice. Est ce que quelqu'un pourrait m'aider ?

Merci

[bombastus]

Bonjour,

P(x) au carré doit être égal à un polynôme de degré 4, quel doit être le degré de P?

[Seignosse]

Oups, je me suis trompé de question, en fait je suis bloqué à la question b) :mur:

[bombastus]

Il suffit de développer... qu'as-tu trouvé au a?

[Seignosse]

Il suffit de développer... qu'as-tu trouvé au a?

n (n+1) (n+2) (n+3)

C'est le bon résultat ?

[bombastus]

le produit de ces quatre entiers naturels augmenté de 1.

donc il faut développer :
n (n+1) (n+2) (n+3) +1

[oscar]

Bjr
Soit
n(n+1)(n+2)(n+3) +1 = P

(n+1)(n+2) = n² +3n +2 = n (n+3) +2
Posons n(n+3) = a

P= n(n+3) * (n+1)(n+2) +1
P = a * (a+ 2)+1 = a² +2a +1 = ( a + 1)²

[Seignosse]

Bjr
Soit
n(n+1)(n+2)(n+3) +1 = P

(n+1)(n+2) = n² +3n +2 = n (n+3) +2
Posons n(n+3) = a

P= n(n+3) * (n+1)(n+2) +1
P = a * (a+ 2)+1 = a² +2a +1 = ( a + 1)²

Désolé, mais je n'ai pas vraiment compris votre raisonnement :hein:

[benoit16]

n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n + 1 = [p(n)]² (1)

p(n) est du second degré

dont la forme est an^2 + bn + 1

(n^2 + bn + 1)*(n^2 + bn + 1)

en distribuant et simplifiant on obtient

n^4 + 2bn^3 + (2+b^2)n^2 + 2bn + 1 (2)

pour retrouver le 6n^3 de l'équation (1) 2b = 6 => b = 3

si je remplace dans l'équation (2) b par 3 on retrouve bien l'équation (1)

[benoit16]

que conclure

la racine carrée du résultat du produit de 4 nombres entier consécutif augmenté de 1 est égal à
n^2+ 3n +1 (1)

exemple : 2 * 3 * 4 * 5 = 120
120 + 1 = 121
n = 2
remplacons dans (1)
2^2 + 3*2 + 1 = 4 + 6 + 1 = 11

11 est bien la racine carrée de 121

[bombastus]

@benoit16 : oui, ou bien Seignosse aurait pu faire son exercice tout seul, déduire et conclure tout seul, et pouvoir ainsi se débrouiller lorsqu'il serait à nouveau confronter à un problème de ce type...

[benoit16]

@benoit16 : oui, ou bien Seignosse aurait pu faire son exercice tout seul, déduire et conclure tout seul, et pouvoir ainsi se débrouiller lorsqu'il serait à nouveau confronter à un problème de ce type...

Je m'excuse , j'ai parfois difficile de savoir jusqu'où on peut aller dans l'aide .
Je ferai un plus attention à l'avenir

[bombastus]

Juste une précision : ce que j'ai écrit est un avis personnel, je ne suis pas modérateur. Je trouve juste dommage de filer une réponse toute faite à un élève qui au mieux cherchera à comprendre, au pire recopiera bêtement sur sa copie. Après chacun répond comme il le souhaite (dans le respect des règles du forum).