Dm pour demain

[Jacky]

Bonjour donc comme le sujet le dit, j'ai un DM pour demain, voilà l'énoncé:

Soit a un entier naturel, si on effectue la division euclidienne de a par 3, alors il y a trois restes possibles: 0,1 et 2
Ainsi, si a peut s'écrire de trois façons possibles:
3p, 3p+1 ou 3p+2
avec p un entier relatif.
a est divisible par 3 si, et seulement si, le reste de la division euclidienne de a par 3 est 0, c'est à dire si a peut s'écrire sous la forme 3p (donc je crois que ça signifie que a peut être 3,4 ou 5)

1)Montrer que si p² est divisible par 3, alors p est divisible par 3 ( je crois que par ex 6²=36 qui est divisible par 3 donc que 6 est divisible par 3). On pourra faire un raisonnement par l'absurde en supposant que le reste de la division euclidienne de p par 3 n'est pas 0 (c'est du chinois pour moi)

2)On suppose que racine de 3 appartient aux rationnels. Ecrire : racine de 3=a/b
avec a et b deux entiers naturels non nuls et a/b une fraction irréductible.
Prouver que a² est divisible par 3.

3)En déduire que a est divisible par 3,ainsi que b².

4)Mettre en évidence une contradiction et conclure.

[Quidam]

(donc je crois que ça signifie que a peut être 3,4 ou 5)

NON ! Ça commence mal ! Si a=4, il n'est pas divisible par 3 ! Si a=5, il n'est pas divisible par 3 !

Si un nombre a est égal à 3p avec p entier, quand on fait la division euclidienne par 3 on obtient : a = 3p + 0. Comme le reste est 0, 3p est divisible par 3 ! Ceci est vrai quel que soit p:
Ex :
p=1 a =3*1 = 3 ; 3 est divisible par 3
p=87 a =3*87 = 261 ; 261 est divisible par 3
p=4855 a =3*4855 = 14565 ; 14565 est divisible par 3

Montrer que si p² est divisible par 3, alors p est divisible par 3. On pourra faire un raisonnement par l'absurde en supposant que le reste de la division euclidienne de p par 3 n'est pas 0 (c'est du chinois pour moi)

Raisonner par l'absurde, c'est démontrer quelque chose en supposant son contraire et en montrant qu'on arrive à une impossibilité !
Donc, ici, on te suggère de supposer que le reste de la division de p par 3 n'est pas 0. Et de voir la conséquence pour p² ! Si tu t'aperçois que le reste de la division de p² par 3 n'est pas zéro, tu réalises ainsi que cela est incompatible avec l'hypothèse du problème puisque on dit au départ que p² est divisible par 3 !
L'hypothèse que tu as faite "p non divisible par 3" est donc "absurde", puisqu'elle conduit à une contradiction ! Donc, p est divisible par 3 !

ce type de raisonnement s'appelle "un raisonnement par l'absurde".

[titine]

a est divisible par 3 si, et seulement si, le reste de la division euclidienne de a par 3 est 0, c'est à dire si a peut s'écrire sous la forme 3p (donc je crois que ça signifie que a peut être 3,4 ou 5).

Non. Ca signifie que a=3*0 ou 3*1 ou 3*2 ou 3*3 .... de manière générale a 3*p. C'est bien ça un nombre divisible par 3. Non ?

1)Montrer que si p² est divisible par 3, alors p est divisible par 3 ( je crois que par ex 6²=36 qui est divisible par 3 donc que 6 est divisible par 3). On pourra faire un raisonnement par l'absurde en supposant que le reste de la division euclidienne de p par 3 n'est pas 0 (c'est du chinois pour moi).

D'accord pour ton exemple.
Supposons que p² soit divisible par 3, c'est à dire que p² = 3q
Si p n'est pas divisible par 3, ça signifie que p est soit de la forme 3q+1 (reste de la division euclidienne de p par 3 = 1), soit de la forme 3q+2 (reste de la division euclidienne de p par 3 = 2).
Si p = 3q+1 alors p² = (3q+1)² = 9q²+6q+1 = 3(3q+2)+1
Donc dans la division euclidienne de p² par 3 le quotient sera 3q+2 et le reste sera 1. Ce qui prouve que p² ne peut pas être divisible par 3.
Si p = 3q+2 ............là encore tu vas voir que p² ne peut pas être divisible par 3.

[Archange]

Si p = 3q+1 alors p² = (3q+1)² = 9q²+6q+1 = 3(3q+2q)+1

sinon vous n'arrivez pas à faire le 3) ?

[titine]

Et même :

Si p = 3q+1 alors p² = (3q+1)² = 9q²+6q+1 = 3(3q²+2q)+1

Au 2) tu as prouvé que a² est divisible par 3 tu en déduis donc (d'après 1) que a est divisible par 3.
De plus a/b = rac(3)
Donc a²/b² = 3
Donc a² = 3b²
Mais comme a est divisible par 3, a² est divisible par 9. Donc a² = 9k.
D'où 9k = 3b², ou b² = 3k . Ce qui prouve que b² est divisible par 3.

[Archange]

Merci pour lui :D

(j'étais moi aussi en train d'essayer son truc c'est pour ça que j'ai demandé ^^ )