Position d'un point

[fyhornet]

bonjour j'ai un dm de maths mais j'ai quelques difficultés pourriez vous m'aider merci

ABCD est un carré; AB=1.
P est le cercle de centre D et de rayon 1.
T est un point de l'arc de cercle AC, distinct de A et de C.
La tangente au cercle P en T coupe le segment [AB] en M et le segment [BC] en N.
On se propose de résoudre le problème suivant: Pour quelle position de T la distance MN est-elle minimale?
Pour cela, on essaie d'exprimer MN en fonction d'une variable x, par exemple en posant AM=x. Mais le calcul de MN en fonction de x seul paraît impossible a priori. On introduit alors une autre variable y (on pose CN=y), en espèrant que les calculs permetteront d'exprimer y en fonction de x.

1/ démontrer que MN²=x²+y²-2x-2y+2
la question là c'est bon

2/ prouvez que MN=x+y et que MN²=(x+y)²
c'est à partir de là que je ne sait pas

3/déduisez-en que y=(1-x)/(1+x) puis que MN=(x²+1)/(x+1)

4a/ dressez le tableau de variations de la fonction f :
f(x)= (x²+1)/(x+1), x appartient à l'intervalle [0,1]

b/déduisez-en que la distance MN est minimale lorsque x= racine de 2 -1

5/ calculez y lorsque x= racine de 2 -1
déduisez-en la position de T pour laquelle la distance MN est minimale

[nuage]

Salut,
pour la question 2.
Par le point M on mène deux tangentes au cercle (P) les points de contacts sont A et T, on a AM=MT.
Pour le montrer il est plus facile de faire une figure ne comportant que le cercle et ces 3 points puis de considérer la symétrie d'axe (MD).
Ensuite on a de la même façon NT=NC.

[fyhornet]

merci c'est gentil

[yvelines78]

Bonjour,

2) ABCD est un carré
Dans le triangle ADM rectangle en A, AD=1 et AM=x
D'après le théorème de Pythagore MD²=AM²+AD²= x²+1

(MN) tangente en T au cercle P, DT =1
Dans le triangle MTD rectangle en T, d'après Pyth on a MD²=MT²+DT²
MT²= MD²-DT²
MT²= (x²+1) -1 =x²,
MT est positif donc MT=x

Dans le triangle DNC rectangle en C, NC=y et DC=1,
D'après Pyth on a
DN²=DC²+NC²
DN²=1+y²

Dans le triangle DTN rectangle en T,
D'après Pyth on a
DN²=DT²+TN²
TN²=DN²-DT²
TN²=1+y²-1=y²
TN est positif donc TN=x

MN=MT+TN
donc MN=x+y et MN²= (x+y)²

MN²=(x+y)² = x²+y²-2x-2y+2
2xy=-2x-2y+2
2xy+2y=-2x+2
2y(x+1)=2(1-x)
y=2(1-x)/2(x+1)
y= 1-x/x+1

MN=x+y= x+(1-x)/(x+1)

MN= x(x+1)+(1-x)/x+1
MN=x²+1/x+1

[fyhornet]

merci c'est gentil à toi de m'avoir aider