Polyôme de Tchebychev

[_mathematiques_]

Bonjour !

J'aurais besoin de votre aide pour m'aider a faire et à comprendre un exercice que je trouve particulierement difficile pour un premiere S.

EXERCICE POLYNOME TCHEBYCHEV

1 ) Montrer que pour tout t, cos(2t)=P2(cos t)
ou P2 est le polynôme défini par P2(x)=2x²-1.

2 ) a ) En écrviant 3t=2t+t , montrer que pour tout t,
cos(3t)=2cos^3t-cost-2sin²t.cost

2 ) b ) En déduire que cos(3t)=4cos^3t-3cost
On a donc cos(3t)=P3(cost)
ou P3 est le polynôme défini par P3(x)=4x^3-3x

3 ) a ) Exprimer cos(4t) en fonction de cost

3 ) b ) Quel est le polynôme P4 tel que :
cos(4t)=P4(cost) ?

4 ) a ) Démontrer que pour tout n appartient à N ,
cos((n+1)t)+cos((n-1)t)=2cos(nt).cost

4 ) b ) En déduire que cos(5t)=P5(cost)
ou P5 est un polynôme que l'on précisera.

4 ) c ) Montrer que P5(x)=x.Q(x)
ou Q est un polynôme de degré 4 composé de termes d'exposants pairs.

4 ) d ) Résoudre l'équation P5(x)=0

[Noemi]

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.
Utilise les formules de trigonométrie.