POLYNÔMES

[fastandmaths]

bonjour,

Je cherche un polynôme non nul à coefficients entiers dont une des racines est.?

"Je pense avoir trouvé un polynôme de degré 6" ma question est de savoir si on peut en trouver d 'autres ?

Merci à vous

[Ben314]

Salut,
Oui, bien sûr, il y en a des tas d'autres vu que si tu multiplie un polynôme donné P par un autre polynôme Q, ben ça ne fait évidement que rajouter de nouvelles racines (à savoir celles de Q).
Donc si tu as un polynôme P dont une des racines est , et que tu multiplie ce polynôme (par exemple) par X-1, alors le résultat sera de nouveau un polynôme ayant comme racine.
Evidement, tu peut aussi multiplier ton polynôme par une constante non nulle : ça te fait un autre polynôme, mais qui a les mêmes racines que celui de départ.
Bref, la solution est forcément non unique.
Pour qu'elle le soit, il faudrait préciser qu'on cherche le polynôme de plus petit degré possible (donc pas un produit de deux polynômes non constant à coeff. entier), avec des coefficients premiers entre eux (de façon à ne pas pouvoir diviser le polynôme par une constante), et tel que le terme de plus haut degré soit positif (vu que si P est solution, alors -P aussi).

[chan79]

"Je pense avoir trouvé un polynôme de degré 6"

Je suppose que tu as trouvé:

[fastandmaths]

@ ben 314 . En effet maintenant que tu l'écris cela semble évident .Merci

@chan 9 .Yes c 'est exactement cela .

[GaBuZoMeu]

La question intéressante est de savoir s'il existe un polynôme de degré plus petit.

Si on demande à Sage

Code: Tout sélectionner

A.<x,y>=PolynomialRing(QQ,2)
P = y^2-2 ; Q=y^3-3
R = Q.subs(y=x-y).resultant(P,y)
print R
factor(R)

il retourne x^6 - 6*x^4 - 6*x^3 + 12*x^2 - 36*x + 1 et ne le factorise pas : ce polynôme est irréductible. C'est donc bien le polynôme minimal de sur .

[fastandmaths]

Bonjour ,

Oui c 'est intéressant d 'avoir une idée sur le polynôme minimal, il faut dire que sa n 'a pas grand intérêt de s' intéresser à celui qui est maximal,à cause du caractère infinitésimal.Merci pour ce complément d 'information

[mathelot]

infinitésimal veut dire "arbitrairement petit"

[fastandmaths]

oui désolé