Polynômes

[Vaanilly]

Bonjour ,
J'aurais besoin de quelqu'un pour m'aider dans la résolution complète de ces exercices pour lesquelles je n'ai pas du tout réussi même en passant 1 heure dessus à decomposer chaque phrase . Il est cependant un peu long : En voici l'énoncé :

Preliminaires :

a)Déterminer un polynôme P , de degré 2 , vérifiant pour tout x : P(x+1) - P(x) = x
b) Prouver l'égalité : 1+2+ ... + n = n(n+1)/2
c) En déduire la formule : 1+2+..+, = n(n+1)/2

Application 1 : La course de chevaux

Les n cheveaux d'une course sont numérots 1,2, ... , n .
Un des cheveaux , bléssé , ne part pas . La somme des numéros des partants est 260 .
Combien y - a- t-il eu de partants , et quel est le numéro du cheval bléssé ?

On rédigera une solution de ce problème ) à partir des élements de recherche ci dessous que l'on justifiera .

_ 1+2+..+n= n(n+1)/2
_ n(n+1)/2-n somme des partants n(n+1)/2 - 1
_ Sytème
n²-n-5200
n²+n-521 0
n appartient N

Application 2 : Tchin Tchin

J'ai du mal à trouver le sommeil car mes voisins du dessus font une petite fête . Tout à coup un bouchon saute et les joyeux fêtards trinquent tous ensemble . J'éntends 78 tintements de verres . Combien y a t il de fêtards ?

Je vous remerci d'avance ,
Rémi

[Mortelune]

Bonjour, déjà as tu finis les préliminaires ?

[Vaanilly]

Bonjour :we: .
Non je n'ai même reussi les prélimilaires je viens de passer 1h dessus je suis complétement découragé :(

[Mortelune]

Pour la première :
P est de degré 2 donc il existe a, b et c tels que P(x)=ax²+bx+c.
De plus P(x+1)-P(x)=x ce qui doit pouvoir te ramener à un système de 3 équations à 3 inconnues (a, b et c) tu les trouves et tu as ton polynôme.

Pour les autres la b) et la c) me semble étrangement similaire il n'y a pas d'erreur ?
En tout cas la b tu peux la montrer par récurrence par exemple.

[Vaanilly]

Désolé pour le temps que je met à répondre je suis entrain de chercher comment faire ce que vous m'avez indiqué .

[Vaanilly]

J'ai du mal avec le systeme

[Mortelune]

En fait en regardant de plus près on a pas unicité du polynôme (d'ailleurs c'est sous entendu dans l'énoncé) donc il y a seulement des conditions à trouver sur a, b et c. On a toujours P(x+1)-P(x)=a[(x+1)²-x²]+b[(x+1)-x]+c-c=x

D'où 2ax+(a+b)=x et on trouve les conditions sur a et b.

[Vaanilly]

Bonjour :) .
Alors voila j'ai tout réussi sauf la question 3 des prélimilaires :S
Et j'ai fait l'application 1 et j'ai trouvé 16 ( je peux vous détaillé mon raisonnement si besoin ) .

Il me reste l'application 2 et la question 3 des prémilaires si quelqu'un pourrait m'aider ? :)

[Ixe]

Salut, pour le problème c'est une énigme courante.
Je te souhaite bien du plaisir à relire ce post et a y trouver toutes les similitudes entre les deux sujets. Je te conseils de ne pas lire le dernier post pour ne pas avoir la réponse tout de suite.

http://www.maths-forum.com/enigme-113384.php

Bonne chance.

[Sh0nty]

Bonsoir Vaanilly,

je n'ai pas très bien compris les questions b) et c) des préliminaires car elles me semblent identiques mais je te donne néanmoins la démarche à suivre :

Tu as trouvé un polynôme P tel que P(x+1) - P(x) = x.
Donc on a :
Pour x = 1 : P(2) - P(1) = 1.
Pour x = 2 : P(3) - P(2) = 2.
...
Pour x = n : P(n+1) - P(n) = n.

On te demande de calculer 1+2+...+n.
Il te suffit donc de faire :
1 + 2 + ... + n = P(2) - P(1) + P(3) - P(2) + ... + P(n) - P(n-1) + P(n+1) - P(n).
On a ici une somme téléscopique car on a P(2) - P(2), P(3) - P(3), etc...
Il ne te restera en fait que P(n+1) - P(1).

A la question a), tu as dû trouver que
C'est-à-dire, en factorisant :

Comme et ,
on trouve bien la formule recherchée :


Ensuite, pour la seconde application il te suffit de compter le nombre de tintement en fonction du nombre de personne.
En effet, soit n le nombre de personne.
Tu en choisi une au hasard, elle va trinquer avec n-1 personnes, donc il y aura n-1 tintements.
Choisis-en une autre, elle va trinquer avec n-2 personnes car elle a déjà trinquer avec la première donc il y aura n-2 tintements de plus.
En dénombrant ainsi le nombre de fois où chaque personne va trinquer tu obtiens que le nombre de tintement est :
= (n-1) + (n-2) + ... + 2 + 1.
Soit, d'après la formule précédente :
Il ne te reste plus qu'à résoudre l'équation = 78.

Sh0nty