Polynômes

par **girdav** » 25 Juil 2010, 10:35

D'ailleurs, pour revenir au 2 on peut faire une petite généralisation :

est un polynôme à coefficients entiers qui prend la valeur

en 3 entiers et on montre qu'il ne prend la valeur

en aucun autre entier.

par **Dinozzo13** » 25 Juil 2010, 10:36

Ca m'aiderait beaucoup si tu pouvais m'éclairer :we:

par **Ben314** » 25 Juil 2010, 10:40

Nightmare a écrit:Essaye d'examiner les racines éventuelles de P.

Tient, perso, j'ai pas fait comme ça...

par **Anonyme** » 25 Juil 2010, 10:50

Si P(x) a une racine alors il en a une infinité.

par **Anonyme** » 25 Juil 2010, 10:57

donc P(x)=k=cte ? car pour moi il n'y a pas de polynôme avec une infinité de racine.

par **girdav** » 25 Juil 2010, 11:01

Pour le 3 on peut considérer la fraction rationnelle

qui est périodique.

par **Nightmare** » 25 Juil 2010, 11:19

Qmath a écrit:Si P(x) a une racine alors il en a une infinité.

Effectivement, mais ce n'est pas si immédiat.

Girdav a écrit: Pour le 3 on peut considérer la fraction rationnelle qui est périodique.

C'est ce que j'ai fait originellement, la preuve par les racines me semble un peu plus "naturelle" pour les lycéens.

par **Anonyme** » 25 Juil 2010, 11:29

Nightmare a écrit:Effectivement, mais ce n'est pas si immédiat.

??

Si P(x) admet une racine

alors

1 ou

est une racine donc lexistence d'une racine entraîne lexistence d'une autre différente de la première donc une infinité .

C'est pas assez rigoureux ?

par **Nightmare** » 25 Juil 2010, 11:40

Il y a des choses à écrire pour conclure que l'ensemble des zéros est infini. Effectivement, si z est racine, z+1 ou z+2 l'est aussi. Par récurrence, on a donc pour tout n que z+n ou z+n+1 ou ... ou z+2n est racine. Le problème est qu'il faut que les ensembles des z+p soient disjoints. Pour ça, on peut prendre

par exemple.

Dans ce cas, les ensembles

sont tous deux à deux disjoints (k variant) ce qui permet de conclure que Z est infini.

par **Anonyme** » 25 Juil 2010, 11:44

Nightmare a écrit:Il y a des choses à écrire pour conclure que l'ensemble des zéros est infini. Effectivement, si z est racine, z+1 ou z+2 l'est aussi. Par récurrence, on a donc pour tout n que z+n ou z+n+1 ou ... ou z+2n est racine. Le problème est qu'il faut que les ensembles des z+p soient disjoints. Pour ça, on peut prendre par exemple.

Dans ce cas, les ensembles sont tous deux à deux disjoints (k variant) ce qui permet de conclure que Z est infini.

L'es racines sont distinctes car on peut montrer par recurrence que la relation d'ordre entre les racines est stricte ( > ou < )

par **girdav** » 25 Juil 2010, 11:47

Une autre idée consiste à montrer que pour tout entier

on a

. On voit alors que si

est racine on a que pour tout entier

ou

sont racines. On en déduit que

est racine.

par **Nightmare** » 25 Juil 2010, 11:55

Qmath a écrit:L'es racines sont distinctes car on peut montrer par recurrence que la relation d'ordre entre les racines est stricte ( > ou < )

Je n'ai pas trop compris ceci...

Autre chose au passage, notre raisonnement demande à ce que P ait au moins une racine! Donc il y a autre chose à préciser.

par **Doraki** » 25 Juil 2010, 12:00

Il dit que pour toute racine a, il existe une racine b avec aCe qui assure l'existence d'une infinité de racines dès qu'on en trouve une.

par **Nightmare** » 25 Juil 2010, 12:08

Ok, ça me va. La méthode proposée par Girdav est tout de même la plus élégante.

par **Ben314** » 25 Juil 2010, 12:18

Comme un polynôme non constant admet un nombre fini non vide de racines sur C, on peut aussi prendre celle de plus grande partie réelle. Comme P(z)=0 implique P(z+1) ou P(z+2)=0, on tombe sur une contradiction.

P.S. ma première méthode était :
Si P est non identiquement nul alors, pour "presque tout" z, on a

en faisant n->oo
Donc

par **Anonyme** » 25 Juil 2010, 16:07

Pour revenir a la resolution:

P(x) admet une racine ===> P(x) =0

P(x) n'admet pas de racine ===> P(x)= k ou P(x)= ??

Comment continuer dans le cas ou P(x) n'a pas de racine ?

par **Nightmare** » 25 Juil 2010, 16:25

Est-ce vraiment possible que P n'ait pas de racines?

par **Anonyme** » 25 Juil 2010, 16:39

Nightmare a écrit:Est-ce vraiment possible que P n'ait pas de racines?

P(x)=k k different de 0

Dans le cas ou P est un polynôme non constant c'est tres peu probable que P n'ai pas de racine ( Pour ne pas dire je suis sur que P admet des racines). Mais il me manque des preuves. Je réfléchi ...

par **girdav** » 25 Juil 2010, 16:41

Qmath a écrit:P(x)=k k different de 0

Dans le cas ou P est un polynôme non constant c'est tres peu probable que P n'ai pas de racine ( Pour ne pas dire je suis sur que P admet des racines). Mais il me manque des preuves. Je réfléchi ...

Ici

est à coefficients complexes, donc par le théorème de d'Alembert-Gauß (ou théorème fondamental de l'algèbre) si

n'est pas constant il admet au moins une racine.

par **Anonyme** » 25 Juil 2010, 16:46

Maintenant que tu le dis ...

Au fait polynôme complexe = coefficient complexe + domaine = C ?

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