Polynomes première S

par **koddo** » 11 Nov 2013, 13:19

exercice1: Soit un polynôme. On pose Q(x)=P(x)+1 . Démontrer que [ P(x)]^2n+[Q(x)]^2+1 est divisible par P(x)Q(x).

par **capitaine nuggets** » 11 Nov 2013, 15:23

koddo a écrit:exercice1: Soit un polynôme. On pose Q(x)=P(x)+1 . Démontrer que [ P(x)]^2n+[Q(x)]^2+1 est divisible par P(x)Q(x).

Remplace le 1 de ton expression par 1=Q(x)-P(x).

par **koddo** » 13 Nov 2013, 14:35

capitaine nuggets a écrit:Remplace le 1 de ton expression par 1=Q(x)-P(x).

Excusez moi j'ai commis une erreur sur l'énoncé:En réalité l'exercice est le suivant:
Soit P(x) un polynome ;on pose Q(x)=P(x)+1.Démontre que P(x)^2n + Q(x)^n -1 est divisible par P(x)Q(x)

par **chan79** » 13 Nov 2013, 15:09

koddo a écrit:Excusez moi j'ai commis une erreur sur l'énoncé:En réalité l'exercice est le suivant:
Soit P(x) un polynome ;on pose Q(x)=P(x)+1.Démontre que P(x)^2n + Q(x)^n -1 est divisible par P(x)Q(x)

Montre que

est divisible par P(x) (les 1 se simplifient si on développe

ensuite montre que

est divisible par

(transforme

P et Q sont-ils premiers entre eux ?

par **koddo** » 13 Nov 2013, 16:21

Voila ce que j'ai fait: On a:On a : [HTML]On a : Q(x)=P(x)+1 donc 1=P(x)-Q(x)
Ce qui donne P(x)^2n+Q(x)^n -1= P(x)^2n+Q(x)^n -P(x)+Q(x) puis je factorise par P(x)Q(x) et jobtiens
P(x)Q(x)[P(x)^2n-1Q(x)^-1+P(x)^-1Q(x)^n-1+Q(x)^-1-P(x)^-1]
[/PHP] [/HTML]

par **koddo** » 13 Nov 2013, 16:25

On a : Q(x)=P(x)+1 donc 1=P(x)-Q(x)
Ce qui donne P(x)^2n+Q(x)^n -1= P(x)^2n+Q(x)^n +P(x)-Q(x) puis je factorise par P(x)Q(x) et jobtiens
P(x)Q(x)[P(x)^2n-1Q(x)^-1+P(x)^-1Q(x)^n-1-Q(x)^-1+P(x)^-1]

par **koddo** » 14 Nov 2013, 13:23

chan79 a écrit:Montre que
est divisible par P(x) (les 1 se simplifient si on développe
ensuite montre que
est divisible par (transforme
P et Q sont-ils premiers entre eux ?

pour la première question on a P(x)^2n+(P(x)+1)^n+1=P(x)^n+nP(x)^n-1+...+1-1 est divisble par P(x).
Mais pour la deuxième voila ce j'obtiens: après transformation (P(x)^n+1)(P(x)^n-1)+(P(x)+1)^n

par **chan79** » 14 Nov 2013, 13:33

koddo a écrit:pour la première question on a P(x)^2n+(P(x)+1)^n+1=P(x)^n+nP(x)^n-1+...+1-1 est divisble par P(x).
Mais pour la deuxième voila ce j'obtiens: après transformation (P(x)^n+1)(P(x)^n-1)+(P(x)+1)^n

par **koddo** » 14 Nov 2013, 23:43

chan79 a écrit:

P(x)2n+Q(x)n -1= (P(x)+1)(P(x)-1)()+(P(x)+1)(P(x)+1)^n-1 qui est divisible par P(x)+1 donc par Q(x)

par **koddo** » 14 Nov 2013, 23:52

voici un autre exercice qui me pose problème:
n étant un entier naturel on désigne par fn le polynôme défini par :
f (x) =nx^n+1 - (n+1)x^n +1
Démontrer quil existe un polynôme gn tel que, pour tout réel x :
f (x)= (x-1)^2 gn (x)

par **chan79** » 15 Nov 2013, 07:25

koddo a écrit:voici un autre exercice qui me pose problème:
n étant un entier naturel on désigne par fn le polynôme défini par :
f (x) =nx^n+1 - (n+1)x^n +1
Démontrer quil existe un polynôme gn tel que, pour tout réel x :
f (x)= (x-1)^2 gn (x)

si un polynôme est divisible par P et Q, est-il obligatoirement divisible par PQ ?

par **koddo** » 15 Nov 2013, 13:21

chan79 a écrit:si un polynôme est divisible par P et Q, est-il obligatoirement divisible par PQ ?

Il faut que P et Q soient premiers entre eux je crois bien

par **chan79** » 15 Nov 2013, 14:17

koddo a écrit:Il faut que P et Q soient premiers entre eux je crois bien

oui, et est-ce que c'est vrai ici ?

par **koddo** » 15 Nov 2013, 14:27

chan79 a écrit:oui, et est-ce que c'est vrai ici ?

Deux polynomes Pet Q sont Premiers entre eux s'il existe deux polynomes U et V tels que
PU+QV=1 si on pose ici U=-1 et V=1 avec Q=P+1 On verra bien P et Q sont premiers entre eux

par **chan79** » 15 Nov 2013, 17:34

koddo a écrit:Deux polynomes Pet Q sont Premiers entre eux s'il existe deux polynomes U et V tels que
PU+QV=1 si on pose ici U=-1 et V=1 avec Q=P+1 On verra bien P et Q sont premiers entre eux

On est d'accord ! :zen:

Polynomes première S

Polynomes première S

Qui est en ligne