Polynomes , division par x -a

[naruto-next]

salut,

ya un truc dans mon cours que je comprend pas . :

Le reste de la division d'un polynomes P par x-a est p(a)
en effet la division p par x-a s'ecrit : p = Q * ( x-a ) +R
Si on fait x = a dans l'egalité il vient : p(a) = R
qui est bien une constante puisque le degré de R doit etre inferieur à celui de x-a c'est a dire de degré 0

on peut donc dire que pour un polynomes p soit divisible par x-a il faut que p(a) = 0

la je comprend pas , car R est une constante rien ne l'oblige à etre egal à 0.

merci

[annick]

Bonsoir,
s'il y a un reste non nul, alors on ne peut pas dire que le polynôme est divisible par x-a.

Ex : Si tu divises 9 par 2, alors 9=2x4+1, reste non nul, 9 non divisible par 2
Si tu divises 9 par 3, alors 9=3x3+0, reste nul, 9 divisible par 3.

[nodjim]

Naruto ton analyse est bonne.
Mais tu peux très bien avoir P=Q*(x-a) et dans ce cas on parle bien d'un P(a) tjs nul.

Par exemple x²+x-2 est divible par x-1, et dans ce cas le reste de (x²+x-2)/(x-1)=0
C'est une formulation un peu bizarre, j'en conviens, mais elle tout à fait exacte.

[ouragh]

Bonsoir ,
Je trouve que les explications de Annick et de nodjim conforment à la question posée par naruto-next. Donc mon intervention ne se fera don pas dans ce sens. Je suis disposé à présenter la méthode d'O.R. pour effectuer une division de polynômes (division euclidienne et division suivant les puissances croissantes) si vous accepter bien sur mon intervention . Cette méthode est une généralisation de la méthode synthétique utilisée par d'abord Ruffini et par la suite par Horner lorsqu'on divise un polynôme par x-a. Ainsi par exemples :
1) diviser à la main le polynôme 2x^8+3x^6-x^5+x^2+3x-4 par x^3-3x+2 sans faire usage de la division longue classique);
2) Effectuer la division suivant les puissances croissantes de 5x^2+3x-1 par x^5+2x^4-x^3+5x+1 jusqu'à l'ordre 6 sans faire usage de la division longue classique.
Je signale aussi que grace à cette méthode on poura effectuer une décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle et ce dans des temps reccords et dans des formats trés réduits .
Donc j'attends vos réponse( Naruto-next d'abord , puis Annick , nadjim et tout autre "forumeur".
Cordialement.
N.B. O.R abréviation de OURAGH - RUFFINI