Polynôme

[Isaac]

Bonjour,

Je suis en train de faire un DM de maths, mais je bloque partiellement sur une question.

"Une entreprise fabrique entre 0 et 1000 objets par mois. Le bénéfice en k€ de cette entreprise pour la fabrication de x centaines d'objets est donné par :
B(x) = 4x3(au cube, je ne sais pas faire d'exposant)-7x²+8x-3"
Pour quelles quantités d'objets fabriqués le bénéfice est-il positif ou nul ?

Alors, je pense que le bénéfice est nul quand x = 1 (soit 100 objets) et donc positif ou nul de 1 à +infini seulement je ne sais pas du tout comment rédiger et justifier ma réponse. Merci de m'aider.

Isaac

[yvelines78]

bonjour,

B(x)=4x^3-7x²+8x-3

B(0)=-3
B(1)=4*1^3 - 7*1² + 8*1 - 3=4-7+8-3=12-10=2

donc dès le premier objet B(x)>0

[Bastien L.]

Bonjour!


Tu as une fonction qui, au nombre d'objets produits, associe un bénéfice… Tu peux en faire une étude complète, et, notemment, un tableau de signes… Non?

[Isaac]

Certes, mais je ne sais pas le faire avec une telle fonction. Je n'ai fait des tableaux de signes qu'avec des expressions de la forme x²+x+un entier, soit un trinôme du second degré. Comment fait-on avec ce genre d'expression ?

[Bastien L.]

Ah, oui, je suis allé un peu trop vite…

Et si on essayait de la dériver? Si on a de la chance, on aura une fonction monotone, et alors, il nous suffira de trouver, avec une équation, en quelle valeur elle s'annule, il ne restera plus qu'à préciser qu'elle est négative avant et positive après si elle est croissante, ou le contraire, si elle est décroissante…

Un conseil: utilise Géogébra (par exemple) pour voir à qui tu as affaire… :we:

[Isaac]

Oui, je m'excuse encore, mais on n'a pas attaqué les dérivés... Je ne sais pas comment le démontrer avec ce qu'on a appris. Je sais lire le résultat sur le graphique par ma calculatrice, même de tête on trouve 1 mais comment justifier ?

[Bastien L.]

Tu ne sais pas du tout dériver?

[Isaac]

Non, on a juste commencer à évoquer ce sujet. On ne peut pas répondre avec des techniques proches de celles utilisées avec les trinômes du second degré ?

[Bastien L.]

Je ne vois pas… Peut-être qu'on peut en déterminer le sens de variation sans dériver… Mais je ne vois pas…

[Isaac]

Merci quand même, c'est gentil d'avoir pris du temps

[Bastien L.]

De rien, je pense que quelqu'un finira bien par trouver… :-)

Quand on apprend de nouveaux outils très performants et pratiques (discriminant ou dérivation, par exemple), on oublie un peu trop vite ce qu'on savait avant… ^^

[Zweig]

J'ai trouvé quelque chose, en trafiquant un peu l'expression, qui est égale à :



On remarque que dès que , alors l'expression est strictement positive.

[Bastien L.]

Ah ouais! :id: Joli!

[Zweig]

Bon, j'explique ma démarche quand même, car ça fait un peu trop "identité qui sort de mon chapeau magique".

L'idée est de réécrire l'expression sous la forme
avec des réels à déterminer, avec , puisqu'à partir de là, on a , dont le signe de ce dernier est très facile à donner.



Je reconnais ici un polynôme (dans la parenthèse) de la forme . Sauf qu'on voit que tous les coefficients ne sont pas liés, donc on ne peut trouver un tel , d'où l'idée "d'approcher" ce polynôme. J'essaye de travailler avec des entiers. Comme on a -3/4, doit être négatif. Comme le premier entier > 3/4 est 1, j'essaye de développer ceci :



Or moi je veux arriver à :





Il ne reste plus qu'à multiplier par 4 et c'est bon.