Polynôme

[bfo]

Bonjour. :id:
J'ai besoin d'une vérification pour un exercice sur les polynômes.
avec a et b des réels.
Est-ce qu'il existe a et b de façon qu'on puisse écrire
Voici comment j'ai fait :
j'ai dit que dans ce cas, 1 est une racine double de f(x) et donc que f(1)=0 ce qui donne a+b=-1.
Et ensuite j'ai dit qui si a et b existent, alors on peut écrire :
et j'ai résolu le système et je trouve c=1 ; a=1/4 ; b=3/4 ; d=9/4 ; e=3/2 et f=b=3/4.
Don cj'ai bien trouvé deux valeurs de a et b mais quand fe fais f(1) avec les valeurs de a et b je ne trouve pas 0.


Mon raisonnement est-il faux où ai-je tout simplement fait une erreur de calcul ?
:we:
Merci de votre aide.

[leon1789]

Mon raisonnement est-il faux où ai-je tout simplement fait une erreur de calcul ?
:we:
Merci de votre aide.

Ton raisonnement est correct mais un peu laborieux, et (logiquement) tu t'es trompé dans la résolution du système.

Tu évalue en x=1 ok. Et tu peux aussi dériver...

A tout hasard, connais-tu la division euclidienne de polynômes ?

[Noemi]

Une erreur au début, si f(1)= 0 cela donne a+b = 0.
Grosse erreur de ma part, c'est bien 1+a+b= 0.soit a+b =-1.

[leon1789]

Une erreur au début, si f(1)= 0 cela donne a+b = 0.

nan nan, 1+a+b=0, ce qui donne bien a+b=-1

[Sa Majesté]

Si tu as vu les dérivées, tu aurais aussi pu dire :
f(1)=0 => équation en a et b
f'(1)=0 => équation en a seul

[bfo]

Oui j'ai vu la division polynôme mais en quoi va-t-elle être utile ici ?

[bfo]

Et pourquoi f'(1) serait nulle aussi ?

[Sa Majesté]

Et pourquoi f'(1) serait nulle aussi ?

Dérive avec la formule de dérivation d'un produit
Puis calcule f'(1) et tu verras.

[leon1789]

Oui j'ai vu la division polynôme mais en quoi va-t-elle être utile ici ?

Il y a plusieurs méthodes :

-1- La plus efficace est la dérivation de l'égalité + évaluation en 1 (cf : Sa Majesté)

-2- Autre méthode moins rapide (si on ne veut pas dériver), mais évitant la collection des inconnues c,d,e,f,g... c'est ce faire la division de f(x) par x²-2x+1 , et de voir le reste : on veut qu'il soit nul, et cela impose des conditions sur a et b.

[leon1789]

Et pourquoi f'(1) serait nulle aussi ?

Tu l'as dit toi même ! :zen:

j'ai dit que dans ce cas, 1 est une racine double de f(x)

[bfo]

D'une part :
je ne vois pas en quoi la présence d'une racine double fait que f prime de 1 vaut aussi 0.
D'autre part : en résolvant le système avec f(1) et f'(1) je trouve a=-5/4 et b=1/4.
Mais si je fais la division polynome, je trouve que le reste vaut x(11+8a)+b-3a-4 et il doit valoir 0. Seulement il ne devrait pas y avoir de x qui traine. D'ailleur si je ne tiens compte que de b-3a-4, je retrouve les solutions données par le système dont j'ai parlé au début.

Que se passe-t-il ?
Merci de votre aide à nouveau.

[leon1789]

D'une part :
je ne vois pas en quoi la présence d'une racine double fait que f prime de 1 vaut aussi 0.

Il faut que t'en convaincre en dérivant...

D'autre part : en résolvant le système avec f(1) et f'(1) je trouve a=-5/4 et b=1/4.

c'est la solution.

Mais si je fais la division polynome, je trouve que le reste vaut x(11+8a)+b-3a-4 et il doit valoir 0. Seulement il ne devrait pas y avoir de x qui traine. D'ailleur si je ne tiens compte que de b-3a-4, je retrouve les solutions données par le système dont j'ai parlé au début.

Tu t'es trompé dans les calculs de la division, car doit retrouver les mêmes conditions sur a,b bien sûr.

Preuve que la méthode ci-dessus est la meilleure :id:

[bfo]

Pour le fait que f'(1)=0. Bien sûr que j'ai vu que c'était vrai avec la dérivée mais comment en avez-vous eu l'idée parce que ça n'a rien d'évident comme ça, si ?

[leon1789]

Pour le fait que f'(1)=0. Bien sûr que j'ai vu que c'était vrai avec la dérivée mais comment en avez-vous eu l'idée parce que ça n'a rien d'évident comme ça, si ?

On le sait parce que c'était dans nos cours. :id:
Peut-être ne l'as-tu pas encore vu en cours. Mais maintenant tu le sais :zen:

[bfo]

Ok, merci, mais j'aimerais bien que vous me donniez ce que vous trouvez pour la division parce que ça me perturbe quand même, je l'ai refaite 5 fois au moins !

[leon1789]

Le reste de la division de par est .

Vouloir que le reste soit nul, c'est poser 5+4a=0 et b-3a-4=0 , et ça retombe sur tes billes. :zen:

[bfo]

A ben oui, suis-je bête ! Merci.