Polynôme et factorisation !

[rhcp71]

Salut a tous,

J'ai recu un exercice que je veux imperativement comprendre (curiosité idiote ^^) et qui s'avere difficile pour moi. :we:

L'exercice :

On considère le polynome P défini sur IR :

P(x) = x^4 + 6x³ + 15x² + 18x + 9

1) Montrer qu'il existe 3 nombres réels a, b, c tels que

P(x) = a(x²+3x)² + b(x²+3x) + c

en developpent la factorisation je trouve :

ax^4 +6ax³ + bx² + 9ax² + 3bx + c

Ce qui correspont au polynome de base mais je ne suis pas sur de pouvoir en deduire l'existance de a,b,c
Et par manque de racine (ou alors je les ai pas vu) je ne peut pas utiliser la forme canonique pour pouvoir factoriser.

Je ne demande aucunement la réponse, mais juste une piste qui pourrait me conduire a la vérité :mur:
a partir de la factorisation, peut on trouver des racine de P ??

Merci pour vos réponses

[pitchoune_8]

ce que tu a fait est totalement faux j'ai déjà eu le même type d'exercice et on la corriger te donne t'on une racine évidente? généralement t 1 ou -1 ??

[rhcp71]

Sauf qu'ici 1 et -1 ne convienne pas (49 pour 1 et 1 pour -1)

Et non on ne me donne pas de racine evidente et c'est pour ca que je cherche la solution ailleurs
de plus la deuxieme partie de l'exercice est "en deduire les racines" donc a mon avis elle ne doivent pas etre si evidente que ca.

si on me donne une factorisation il doit bien y avoir une raison

[pitchoune_8]

je peux te donner un exemple qui n'est peux être pas le même voyons on n'a f(x)=-2x3-x+18 avec alpha = 2

donc f(x) s'ecrit (x-2)(ax²+bx+c)
f(x)=ax3+bx²+cx-2ax²-2bx-2c
f(x)=ax3+x2(b-2a)+x(c-2b)-2c

je cherche troix réels a b et c tels que pour tout x réel f(x)= ax3+x2(b-2a)+x(c-2b)-2c

a=-2 car(-2x3)
b-2a=0(car ps de terme en x²)
on connait a donc b=-4

c-2b=-1
donc =-9

-2c=18

a la fin tu a (x-2)(-2x²-4x-9) je sais pas si cela va t'aider car ce n'est pas la réponse a ta question mais j'espère que sa peux t'aider a résoudre ton exercice!!!

[rhcp71]

Oui c'est la factorisation canonique.
Mais pour ca il faut alpha qui est une racine et ce que je n'ai pas

En effet je comptait utiliser cela, mais je ne peut pas tant que je n'ai pas trouver de racine

Et je comptait la trouver quelques part cette racine ^^
Mais ou ??

[pitchoune_8]

Normalement dans ce genre d'exercice on te donne une racine évidente c'est Bizarre je vais voir si on ne peux pas la trouver par un autre moyen (changement d'inconnue ou autre ce qui me parait absurde!!!!!) je vais essayer de t'aider et ensuite je te dis ce que je trouve....

[Dinozzo13]

Hé bien, tu sais que deux polynôme sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont égaux donc tu procède par identification en résolvant le système suivant :

[rhcp71]

En fait, la factorisation proposé utilise forcement une racine, sinon la facorisation serai impossible, d'ou l'idée de prendre -3 qui est present dans
(x-alpha) qui est ici (x²+3)......

Ou alors il n'y a pas de racine pasque :

x²+3 = 0
x²= -3 ce qui est impossible

Mais je m'egare je pense....
La solution doit etre ailleurs

[Timothé Lefebvre]

Bonjour à vous deux,

il n'y a pas de changement de variable à faire ici, essayez par identification des coefficients, tout simplement.

[pitchoune_8]

oui mais a =1 on n'a pas son polynôme égale a zero

[rhcp71]

Hé bien, tu sais que deux polynôme sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont égaux donc tu procède par identification en résolvant le système suivant :

Désolé pour le double post ^^

Oui c'est c'est ce que j'ai posé comme question dans mon premier message mais comme je l'ai dit je ne suis pas sur que ca justifie la demonstration de l'existance des trois nombre a,b,c

Je sait que je suis idiot sur ce coup mais bon ^^
C'est vrai que comme ca, apres il est facile de trouver les racines du polynome

[Dinozzo13]

Hé bien, tu sais que deux polynôme sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont égaux donc tu procède par identification en résolvant le système suivant :

[Timothé Lefebvre]

C'est d'ailleurs la résolution que l'on attendait de toi.

[pitchoune_8]

j'ai eu ton idée pour les coefficients égaux mais elle veut des racines....

[Dinozzo13]

Je sait que je suis idiot sur ce coup mais bon ^^
C'est vrai que comme ca, apres il est facile de trouver les racines du polynome

Pas grave ça peux arriver, l'important, c'est que tu ne fasses plus la même erreur :++:

[pitchoune_8]

mais donc enfaite tu n'a pas besoin de racines évidente tu résous tout simplement....?.....

[rhcp71]

Non, vu comme cela, on a plus besoin de racine, puisque c'est les racines qui permete de trouver la factorisation. Si tu as la factorisation par avance, plus besoin de racine et on montre facilement l'existance des trois nombres a,b,c.

Oui c'est vrai que je cherchait compliqué pour pas grand chose

C'est la premiere idée qu'il m'est apparus, mais elle m'a paru trop simple pour le tete des exercices que l'on avait eu jusqu'a présent, d'où mon casse-tête

Je vous remerci tous pour m'avoir aidé, j'avais vraiment envie de comprendre cet exercice qui me posait probleme depuis un bout de temps et je n'arrivait vraiment as a sortir de ce tunnel de chiffres ^^

[Timothé Lefebvre]

Non, pas besoin de racines évidentes ...

[rhcp71]

Juste pour dire que je viens d'arriver sur le forum et comme j'adore les maths, je pense que je vais y participer de plus en plus pour repondre aux questions des autres.

Encore merci pour ces réponses et merci a Pitchoune_8 aussi qui c'est debrouiller a m'aider comme il/elle pouvait ^^

[Timothé Lefebvre]

Juste pour dire que je viens d'arriver sur le forum et comme j'adore les maths, je pense que je vais y participer de plus en plus pour repondre aux questions des autres.

Alors je te souhaite la bienvenue !
J'espère que tu te plairas ici