Polynome: j'aimerai savoir si j'ai juste

[babybeef]

Bonjour. J'ai fait un exercice et j'aimerai savoir si il est juste.

Trouver un polynome f(x) de degrés 3 admettant -1, 1 et 2 pour racines et tel que f(0)=4

Voila ma réponse

Il faut f(-1)=0, f(1)=0, f(2)=0 et f(0)=4
x-2=0 si x=2
x²-1=0 si x=1 ou si x=-1
f(0)=4

f(x)=(x-2)(x²-1)+2
f(x)=x^3-x-2x²+2+2
f(x)=x^3-2x²-x+4
Ai-je juste?
Merci à vous.

[Quidam]

Bonjour. J'ai fait un exercice et j'aimerai savoir si il est juste.

Trouver un polynome f(x) de degrés 3 admettant -1, 1 et 2 pour racines et tel que f(0)=4

Voila ma réponse

Il faut f(-1)=0, f(1)=0, f(2)=0 et f(0)=4
x-2=0 si x=2
x²-1=0 si x=1 ou si x=-1
f(0)=4

f(x)=(x-2)(x²-1)+2
f(x)=x^3-x-2x²+2+2
f(x)=x^3-2x²-x+4
Ai-je juste?
Merci à vous.

Ben non, évidemment ! C'est très facile de le vérifier après coup !
Si tu calcules f(-1), tu trouves quoi ? Moi je trouve 2 ! Donc ça marche pas !

Ca avait pourtant bien commencé : tu as trouvé g(x)=(x-1)(x+1)(x-2) qui marche pour les trois premières conditions, mais si tu ajoutes 2, tu as bien sûr g(x)=(x-1)(x+1)(x-2)+2 et donc g(-1)=2, g(1)=2, g(2)=2 ! Logique, non ?

Alors que faire pour préserver cette propriété ?

La réponse est f(x)=k*(x-1)(x+1)(x-2). Quel que soit k, tu auras g(-1)=0, g(1)=0, g(2)=0 ! Donc tu n'as plus qu'à ajuster k pour que g(0)=4 !