[DM] Point invariant, suites, barycentre

[arnaudrou]

Bonjour à tous,

Qui peut m'aider dans mon DM ou je suis bloqué:

Le plan est rapporté au repère orthonormal (0;i ,j).On considère l'application f du plan dans lui même qui, au point M(x,y) associe le point M'(x',y') vérifiant:
x'=1/2(1-y) et y'=1/2(x-3)

1)a) Montrer que f admet un unique point invariant ;).
--> J'ai fais le système et je trouve un point ;)(1;-1)
b) Prouver que ;)M'= 1/2;)M.
--> La je n'y arrive pas (j'y suis presque), j'utilise bien les propriétés des vecteurs:
;)M' = racineV[(1/2(1-y)-1)² + (1/2(x-3)+1)²]
= racineV[(-1/2-1/2y)² + (1/2x-1/2)² ]

1/2;)M = 1/2 racineV[(x-1)²+(y+1)²]


c) Etablir que le triangle ;)MM' est rectangle en ;).

--> J'ai démontré que ;)M et ;)M' sont des vecteursorthogonaux.
---> Ensuite je bloque pour la suite qui peut m'aider ??
2) Soit M0(1+4V3,3). Pour tout entier naturel n, on pose Mn+1=f(Mn).
a)En utilisant la première question, calculer ;)Mn en fonction de n.
b)Placer le point M0 et construire les points M1,M2,M3,M4.
c)A partir de quel indice n0a-t-on: "Pour tout n > n0, Mn appartient au disque de centre ;) et de rayon 0.5"?
3)a)Calculer M0M1
b)Pour tout n de N, on note dn=MnMn+1
Montrer que (dn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
c)On note ln=d0+d1+d2+...+dn. Calculer ln en fonction de n et en déduire la limite de ln en +infini.
4. Pour tout entier n de , on note Gn l'isobarycentre des points M0, M1,M2..., Mn.
a)Montrer que, pour tout n > 0, ;)Gn < 16/(n+1)
b)En déduire la position limite du point Gn lorsque n tend vers +infini



Merci d'avance

[arnaudrou]

Personne pour m'aider?