TS : Plans et droites

[Jessica54]

Bonjour à tous!

J'ai de petits problèmes avec un exercice dont voici l'énoncé :

On considère la dorite D qui passe par A(1;2;1) et admet pour vecteur directeur u(-1;0;2), et la doite D' qui passe par B(4;2;2) et a pour vecteur directeur u'(0;1;-3).

1. Vérifier que les doites D et D' ne sont pas coplanaires. On appelle "delta" la droite perpendiculaire à D et D', H le point d'intersection de "delta" et D, H' le point d'intersection de "delta" et D'. On se propose de calculer la distance HH'.

2. Méthode 1.
a) Ecrire les représentations paramétriques des droites D et D'.
Soit M un poind de D de paramètre t et N un point de D' de paramètre m.
Exprimer les coordonnées du vecteur MN , en fonction des paramètres t et m.

b) Déterminer m et t pour que MN soit orthogonal à la fois à u et u'.

c) En déduire les coordonnées des points H et H' et la distance HH'.

3. Méthode 2.
a) Démontrer que le vecteur n(2;3;1) est orthogonal à u et u'.

b) Soit P le plan de repère (A,u,n) et P' le plan de repère (B;u';n).
Démontrer que ces deux plans sont sécants suivant une droite.
Que représente cette droite?
En donner un vecteur directeur.

c) Vérifer que P et P' ont pour équations respectives :
6x - 5y + 3z + 1 = 0 et -5x + 3y + z + 12 = 0.

d) En déduire une représentation paramétrique de "delta".

e) Déterminer les coordonnées des points H et H' et en déduire la distance HH'.

Voici ce que j'ai fait :

1. Il n'existe pas de réel k tel que u=ku'. Les droites D et D' ne sont donc pas colinéaires.
vecteur AB(3;0;1)
AB = "alpha" u + "bêta" u'

"alpha" = 3
"bêta" = 0
6 = 1

Il n'existe pas de réels "alpha" et "bêta" tels que AB = "alpha"u + "bêta"u' donc les droites D et D' ne sont pas coplanaires.

2. a) D : 1-t
2
1+2t t appartient à R


D' : 4
2+m
2-3m m appartient à R

3.a) n.u = -2+2 = 0
n.u' = 3-3 = 0

Le vecteur n est orthogonal à u et u'.


Pourriez-vous m'aider pour la suite! Merci d'avance.

[Jessica54]

Voilà ce que j'ai fait si vous pouviez me corriger merci bien!

2. b) Pour que (MN) soit orthogonale à (D) et (D') il faut que :
MN.u = 0 et MN.u' = 0

1-t = 4
2 = 2+m
1+2t = 2-3m

3+t
m
-2t-3m+1

MN(3+t;m;-2t-3m+1)

Ce qui donne le système suivant:

-3-t-4t-6m+2
m+6t+9m-3

6t+10m = 3
5t+6m = -1

d'où (je ne marque pas tous les calculs)
t=-2 et m=3/2

c) Les coordonnées de H et H' sont donc H(3;2;-3) et H'(4;7/2;-5/2)

La distance HH' ... j'arrive pas!


3. b) u et u' n'étant pas colinéaires, les plans P et P' ne sont donc pas parallèles.
P et P' sont distincts car contenants D et D' donc sécants suivant u ne droite "delta". Cette droite est la perpendiculaire commune à D et D' et n(2;3;1) en est un vecteur directeur.

c) v(6;-5;3) est orthogonal à u et n. De plus A appartient à P.
Une équation de P est donc bien 6x-5y+3z+1=0

Pareil pour l'autre équation avec le plan P'.

d) n(2;3;1)
On prend le point c(1;-1;4) vérifiant l'équation de P et P'.

L'équation paramétrique de "delta" est donc :
1+2k
-1+3k
-4+k k appartient à R

e) 1-t 1+2k
2=-1+3k
1+2t = -4+k


4=1+2k'
2+m = 1+3k'
2-3m=-4+k'


t = -2
k = 1

m=k'=3/2


Pour retrouver les coordonnées de H et H' pareil que pour la méthode 1.

Par contre je n'arrive toujours pas à trouver la distance HH'.


Voilà, merci d'avance pour votre aide!