Plan et vecteur normal ?

par **jojo130194** » 19 Sep 2010, 18:41

Bonjours à tous :happy2:

J'ai deux exercices pour demain, mais j'aurais besoin de votre aide.

Pour le 1er :

"Dans un repère orthonormé, soient (P) : x + 4y - 5 = 0 et (P') = x - 2y + z + 3 = 0.
1. Montrer que (P) et (P') sont sécants.
2. Donner une représentation paramétrique de leur droite d'intersection."

Pour le 2eme :

"Dans un repère orthonormé, écrire une équation de la sphère de centre I ( 2 ; 5 ; -1 ) et de rayon 4, puis une équation de la sphère de diamètre [AB] avec A( 5 ; 2 ; 3 ) et B( -1 ; 0 ; 2 )."

Voila :hum:

Alors, pour le 1er exercice, je pense qu'il faut commencer par calculer les vecteurs normaux de ces deux plans, puis de vérifier si ces vecteurs normaux sont colinéaires, ou non. Ainsi, on saura si les deux plans seront sécants ou pas. Seulement, je ne sais pas comment calculer un vecteur normal à un plan ? Pouvez-vous m'indiquer la méthode ?
Pour la question 2 cependant, je n'ai aucune idée pour le moment, mais je chercherais plus en profondeur quand j'aurais déja fait la 1ere question.

Ensuite, pour le 2eme exercice... C'est la que ça se complique... Quelle est la formule de l'équation d'un cercle dans l'espace ? Avec sont centre et un rayon ? Avec deux points qui définissent son diamètre ?

Merci d'avance à tous !

Bonne soirée.

par **Sa Majesté** » 19 Sep 2010, 19:47

Salut
Un vecteur normal du plan d'équation ax+by+cz+d=0 a pour coordonnées (a,b,c)

par **jojo130194** » 19 Sep 2010, 20:17

Merci beaucoup, c'était très simple en fait :marteau:

Et pour l'exercice 2, une petite idée ?

par **Sa Majesté** » 19 Sep 2010, 20:19

Tu choisis ton paramètre t, par exemple x=t
Puis tu exprimes y et z en fonction de t

par **jojo130194** » 19 Sep 2010, 20:28

Merci, mais, je ne comprends vraiment pas...
En quoi cela m'aidera à trouver l'équation d'un sphère ? Comment procéder ? :hein:

par **Sa Majesté** » 19 Sep 2010, 20:30

J'étais sur le 2. de l'exo 1

Pour l'exo 2, une sphère c'est l'ensemble des points qui sont à une distance fixée R d'un point (a,b,c)
Une équation est (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R²

par **jojo130194** » 19 Sep 2010, 20:41

Merci beaucoup !

Pour la 1ère partie de la question, on a donc :

( x - 2 )² + ( y - 5 )² + ( z + 1 )² = 16 ?

Et donc, pour la 2ème partie de la question, il faut calculer le milieu de [AB], afin de trouver le centre de la sphère, mais ensuite, pour le rayon, comment le trouver ?

par **Sa Majesté** » 19 Sep 2010, 20:43

Réfléchis un peu : le rayon c'est AB/2

par **jojo130194** » 19 Sep 2010, 20:53

En effet, mais pour AB ?
Avec juste deux points de l'espace, je ne me rappelle plus vraiment comment faire, c'est trop loin... D'autant plus que les maths ne sont vraiment pas mon fort :triste:
Il me semble que c'est : AB = ( xB - xA )² + ( yB - yA )² + ( zB - zA )² ?
Je dois avouer ne pas en être sûr...

Est-ce bien cela ? Ou peut-être est-ce la racine carré de ce que j'ai fait ?
J'ai un gros doute...

On aurait alors :

AB = 41 ? Ou AB = racine de 41 ?

D'où le rayon de la sphère AB/2 = 20,5 ou AB/2 = "racine de 41"/2...

Lequel de ces deux calculs est correct !?

EDIT : Après un minimum de réflexion, je me suis rendu compte que c'est la 2eme solution qui est correcte, la racine carré de ce que j'avais donné précédemment... :ptdr:

Merci beaucoup pour votre aide !

Bonne soirée.

par **Sa Majesté** » 20 Sep 2010, 17:50

jojo130194 a écrit:EDIT : Après un minimum de réflexion, je me suis rendu compte que c'est la 2eme solution qui est correcte, la racine carré de ce que j'avais donné précédemment... :ptdr:

Tu vois bien qu'en réfléchissant un peu, tu peux y arriver :zen:

Plan et vecteur normal ?

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