Plan complexe

[pauline s]

Voici un exercice de type bac que j'ai à résoudre. Il est constitué de 4 questions. Je n'ai réussi à répondre qu'aux 2 premières, je bloque sur la suite:

Le plan complexe est rapporté à un plan orthonormal direct (O;u;v)(vecteur). On considère les points A et B d'affixes respectives i et -i. A tout point M du plan d'affixe z disctincte de -i, on associe le point M' d'affixe z' tel que:
z' = (1+iz)/(z+i)

1.a)Quelle est l'image du point O? Quel point a pour image C d"affixe 1+i?
b)Prouvez que l'équation (1+iz)/(z+i) = z admet deux solutions.
Calculez ces solutions.

2.Vérifier que z' = i(z-i)/z+i; déduisez-en que:
OM' = AM/BM
et (u,OM')= (MB,MA)+pi/2+2kpi (k appartenant à Z).

3. Prouvez que tous les points de l'axe des abscisses ont leurs images situées sur un même cercle.
Précisez ce cercle.

4. M est un point du cercle de diamètre [AB], différent des points A et B.
Prouvez que son image M' est située sur l'axe des abscisses

[Noemi]

Recherche l'image d'un point M d'affixe x (un réel).

[pauline s]

Ne devrait-on pas utiliser la question 2? Y aurait-il un rapport avec le cercle circonscrit? ou bien faudrait-il utiliser les modules et les arguments des points?

[Noemi]

Pose z = x et cherche x' et y' en fonction de x. ( z' = x' + iy').

[pauline s]

je dois poser z=x pour quelle formule?
je remplace z' = 1+iz / z+i par x'+iy' = 1+ix / x+i?

[Noemi]

Tu recherches l'image d'un point M d'affixe z = x
avec : z' = (1+iz)/(z+i)

[pauline s]

j'ai posé z' = x'+iy'
donc j'ai, z' =1+iz / z+i <=> x'+iy' = 1+ix / x+i
<=> x = (1-ix'+y') / (-i+x'+iy')
comment dois-je faire après cela dois-je calculer le module pour trouver le rayon?

[Huppasacee]

A partir d'un certain moment , pour les complexes, on en revient à l'interprétation géométrique Que représente l'axe des abscisses pour le segment AB ?
Que vaut par conséquent le rapport MA/MB ?
Qu'en déduit on pour OM ' ?
C'est de la géométrie toute simple, de la mème manière que la question suivante ( pense à l'angle inscrit, diamètre, angle etc.... )
Bon courage

[Noemi]

Cherche x' et y' en fonction de x (et non x en fonction de x' et y')
A partir de : x'+iy' = 1+ix / x+i
multiplie le terme de droite ( numérateur et dénominateur) par l'expression conjuguée du dénominateur.

[pauline s]

comment faut il faire pour trouver le centre du cercle?

[pauline s]

en faite on va obtenir l'équation du cercle
mais comment fait-on pour passer de x'+iy' = 2x+i(x²-1) / x²+1 à (x-x')+(y-y') = R²

[Noemi]

De x'+iy' = 2x+i(x²-1) / (x²+1)
tu déduis x' = 2x/(x²+1) et y' = (x²-1)/(x²+1)
puix x'²+y'²= 1 donc cercle de c entre O et de rayon 1

[Huppasacee]

pauline s
Ne t'embarque pas dans tes calculs
L'axe des abscisses est la médiatrice de AB. De ce fait, tous les points de cet axe sont équidistants de A et de B
donc MA/MB = 1
Donc OM' = 1
C'est la définition d'un cercle

[pauline s]

merci à vous deux pour la question 3.
Pour la question 4 que dois-je utiliser pour prouver que M' est situé sur l'axe des abscisses?

[pauline s]

si M d'affixe z et M' son image d'affixe z', comment prouver que
M' se situe sur l'axe des abscisses M'(x;0)
et que z' = x?

[Huppasacee]

Je cite :
2.Vérifier que z' = i(z-i)/z+i; déduisez-en que:
OM' = AM/BM
et (u,OM')= (MB,MA)+pi/2+2kpi (k appartenant à Z).



4. M est un point du cercle de diamètre [AB], différent des points A et B.
Prouvez que son image M' est située sur l'axe des abscisses
Fin de citation
M est sur le cercle de diamètre AB, donc angle MA, MB =
Par conséquent, (u , OM' ) =
La géométrie, je t'avais dit La fin des exos en complexes revient à ça

[Noemi]

La réponse de Huppasacee est plus rapide et appropriée. N'ayant pas fait les questions 1 et 2, je n'ai pas pris en compte les résultats.

[pauline s]

si on sait que tous les points de l'axe des abscisses ont leurs images situées sur un même cercle(on vient de le prouver) alors est-ce que la réciproque est vraie(c'est à dire que tous les points d'un même cercle ont leurs images situées sur l'axe des abscisses)?

[Huppasacee]

Non , pas forcément. As tu tenu compte de mes indications ? sur les angles ?

[pauline s]

M est un point du cercle de diamètre [AB], donc angleMA,MB = pi/2
or (u,OM')=pi ou 0 pour que M' se situe sur l'axe des abscisses
si je remplace (MB,MA) dans la formule
<=> (u,OM') = (MB,MA) + pi/2+2kpi = pi/2+pi/2+2kpi = pi+2kpi
je devrais donc prouver que pi +2kpi = 0 ou pi
comment faire?