Plan complexe et suites

par **Elda Saphira** » 15 Déc 2010, 16:31

[LEFT]Énoncé :
Soit rn = r0*q^n = r0*(2/3)^n
et

n =

0+2;)/3*n (avec

= pi)
Pour chaque entier naturel n, on pose zn=rn(cos;)n+isin;)n). Sachant que z0, z1, z2 sont liés por la relation z0z1z2=8, déterminer le module et un argument de z0, z1, z2.

Là j'ai trouvé :

z0;)= 3

z1;)= 2 et

z2;)= 4/3
et

0 = 2;)/3

1 = 4;)/3 et

2 = 2;)

Dans le plan complexe P muni d'un repère orthonormé direct (O,u,v), on appelle Mn le point d'affixe zn.
a) pour tout entier naturel n, calculer

vecteur :MnMn+1;) en fonction de n.
b) On pose ln=;)(n k=0)

vecteur : MkMk+1;). Calculer ln en fonction de n et déterminer la limite de ln quand n tend vers +;)[/LEFT]

Là j'ai penser à une récurrence mais je vois pas comment faire

Merci pour votre aide

par **Sylviel** » 15 Déc 2010, 16:41

Commence déjà par exprimer la longueur que tu cherche à mesurer (pour n fixé). Je ne penses pas que la reccurence soit d'une utilité quelconque, mais sait-on jamais ?

Donc que vaut ||MnMn+1||? (commence par le donner en fonction de zn et zn+1)

par **Elda Saphira** » 15 Déc 2010, 17:04

On obtient : ||Zn+Zn+1||=|| rn(cos;)n+isin;)n) + rn+1 (cos(;)n+1)+isin(;)n+1)) ||
= || rn(cos;)n+isin;)n) + rn*2/3 [cos(;)n+2;)/3)+isin(;)n+2;)/3)] ||
= || rn[cos(;)0+2;)/3*n)+isin(;)0+2;)/3*n)] + rn*2/3 [cos(;)n+2;)/3)+isin(;)n+2;)/3)] ||
=||rn[cos(;)0+2;)/3*n)+isin(;)0+2;)/3*n)] + rn*2/3 [cos(;)0+2;)/3*n+2;)/3)+isin(;)0+2;)/3*n+2;)/3)]||
=||r0*2/3^n[cos(;)0+2;)/3*n)+isin(;)0+2;)/3*n)] + r0*2/3^n+1 [cos(;)0+2;)/3*n+2;)/3)+isin(;)0+2;)/3*n+2;)/3)]||

C'est ça qu'il faut faire ?!?!? :help:

par **Arnaud-29-31** » 15 Déc 2010, 17:15

Bonjour,

As-tu vu l'exponentielle complexe ? C'est bien plus simple pour isoler module et argument.

par **Elda Saphira** » 15 Déc 2010, 17:24

Oui j'ai vu l'écriture exponentielle des nombres complexes
Ici ça donne :
||MnMn+1|| = || [rn+1*exp(;)n+1)] - [rn*exp(;)n)] ||
= || [rn*2/3*exp(;)n+2;)/3)] - [rn*exp(;)n)] ||

C'est ça ?

par **Arnaud-29-31** » 15 Déc 2010, 17:27

Oui c'est un bon début. (Sans oublier le i dans l'exponentielle bien sûr ^^)

par **Elda Saphira** » 15 Déc 2010, 17:37

Donc :
||MnMn+1|| = || [rn+1*exp(i;)n+1)] - [rn*exp(i;)n)] ||
= || [rn*2/3*exp(i;)n+2;)/3)] - [rn*exp(i;)n)] ||

On peut dire que c'est égale à || -1/3*rn*exp(2;)/3) || ou c'est une énormité ?

par **Arnaud-29-31** » 15 Déc 2010, 17:50

Je vais te laisser répondre à cette question ...
Si tu arrives à joindre la première et la dernière ligne par des calculs et transformations qui tiennent la route, alors il y a des chance pour que la dernière ligne soit juste. Sinon il y a des chances pour que ce soit faux ...

par **Elda Saphira** » 15 Déc 2010, 17:53

Merci pour ton aide :lol4:

par **Arnaud-29-31** » 15 Déc 2010, 17:54

Bon ... évidemment c'est faux.
Tu viens d'écrire que

... c'est clairement une "énormité".

par **Elda Saphira** » 15 Déc 2010, 18:11

C'est bien que je pensais *honte à moi ! ^^*
J'en suis à :
|| 2/3*rn*exp(i;)n+2;)/3) - rn*exp(i;)n) ||
= || rn*[2/3*exp(i;)n +2;)/3) - exp(i;)n)] ||
= || rn*[2/3*exp(i;)n)*(-3/2 + exp(2;)/3) )]
= || (2/3)^n*[2*exp(i;)n)*(-3/2 + exp(2;)/3) ] ||

par **Arnaud-29-31** » 15 Déc 2010, 18:13

Oui, on peut factoriser par

, maintenant il faudrait casser le

par **Elda Saphira** » 15 Déc 2010, 18:28

|| rn*[2/3*exp(i;)n +2;)/3) - exp(i;)n)] ||
= || rn*[2/3*exp(i;)n)*(-3/2 + exp(2;)/3) )]
= || (2/3)^n*[2*exp(i;)n)*(-3/2 + exp(2;)/3) ] ||

par **Arnaud-29-31** » 15 Déc 2010, 18:56

Je ne comprends pas ce que tu as fait là ... on est d'accord que

?
Le i dans l'exponentielle est aussi facteur de

, fais attention aux parenthèses.

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