"Le pied d'une bissectrice".

[Winteria]

Bonjour à tous, voici ma bête noire du jour :

ABC est un triangle. La bissectrice de l'angle  coupe (BC) en I.

- Évaluer de deux manières différentes l'aire du triangle AIC, puis l'aire du triangle AIB.


J'ai "établi" deux façons de calculer l'aire des deux petits triangles, qui sont on ne peut plus traditionnelles et simples, à savoir :

- le classique mais efficace : (base.hauteur)/2
- le logique : [(base de ABC.hauteur de ABC)/2] - [(base.hauteur)/2]

Là où mon problème s'est posé, c'est qu'il n'est fait mention d'aucune droite ou d'aucun point qui pourrait m'aider à trouver une quelconque hauteur, et qu'il serait absurde d'en rajouter, sous peine de se faciliter la tâche de manière exagérée, ce qui serait sans doute absurde.
Aucun indice révélant non plus une quelconque hauteur dans ABC, pas même de quoi me permettre de prouver que ce triangle soit isocèle, et donc que bissectrice et hauteur soient confondues.

Le pire c'est que ce problème me semble d'une simplicité évidente, et que j'ai l'impression de ne pas avoir épluché toutes ses facettes, mais sans trouver dans mes maigres connaissances en mathématiques d'autres données exploitables.

Enfin, je m'en remets à vous, pour me révéler le petit détail que j'aurais manqué. Ou même le gros, hein, j'ai rien contre.

Merci par avance.


P.S. : "Le pied d'une bissectrice" est le titre de l'exercice. J'ai recherché dans mes cours (et sur internet, mais plus rapidement) quelque propriété à son propos qui m'aurait échappée, mais en vain.

[c pi]

Bonjour

Quel plaisir de lire ta question : aux antipodes du sms !
Pour une entrée dans le forum, elle est remarquable. :++:

Quant à la réponse, elle appelle d'autres questions :
évaluer l'aire des "petits triangles" en fonction de quoi ?
- de celle du "grand" peut-être ?
- de quelles dimensions supposées connues ?

A l'aide de la loi des sinus appliquée à ton cas de figure,
on pourrait montrer par exemple que

et

[Winteria]

Toutes les données sont fournies dans l'énoncé que j'ai copié au début de mon message.
Si tu penses que les calculs doivent se faire en fonction du grand triangle, dis-moi toujours comment, car je vois pas vraiment de quelle manière trouver les aires de cette manière.

Remarque, la question suivante est : En déduire que IB/IC = AB/AC. Donc peut-être que ton idée est la bonne.

[Quidam]

Quelle est la propriété caractéristique des points d'une bissectrice ? Ne serait-il pas astucieux de tracer les hauteurs issues de I dans les triangles ABI et ACI ?
Quant à la prorpiété à démontrer, "IB/IC = AB/AC", c'est un théorème élémentaire qui, me semble-t-il, a malheureusement disparu des programmes depuis belle lurette et c'est très bizarrre ! De mon temps, on le démontrait en seconde ou première, mais en fait, on peut le démontrer en ...quatrième ! Eh oui ! Dès qu'on a vu le théorème de Thalès. Pour cela il suffit de tracer la parallèle à AI passant par B, par exemple, et d'appliquer le théorème de Thalès.

[Winteria]

Je ne pense pas qu'ajouter des droites soit la bonne solution, puisqu'elle rendrait, je suppose, le problème beaucoup trop simpliste.

Je n'ai jamais entendu parler du théorème en question, c'est en effet très étrange.

J'ai l'impression que la solution est là, juste sous mon nez. Toutefois, j'ai un gros nez, aussi peut-elle être cachée. Si quelqu'un pouvait la découvrir à ma place, s'il-vous-plaît...

[yvelines78]

bonjour,

I appartient à la bissectrice de A :
or tous points appartenant à la bissectrice d'un angle est équidistant des côtés de cet angle,

soit H le pied de la perpendiculaire à (AC) passant par I, K le pied de la perpendiculaire à (AB) passant par I
donc HI=IK
dans les triangles rectangles AHI et AKI, on a cosA/2=KA/AI=HA/AI, donc AH=KA

et donc aire de AHI=aire AKI

aire de AIC=HI*AC/2=HI(AH+HC)/2=HI(AK+HC)/2
ou
aire de AIC=aire AHI+aire HIC=aire de AKI +aire de HIC
=AK*KI/2 + HI*HC/2
=HI(AK+HC)/2

aire de AIB=KI*AB/2=KI(AK+KB)/2=KI*(AH+KB)/2
ou
aire de AIB=aire de AKI+ aire de KIB=aire de AHI+ aire de KIB
=AH*HI/2 + KI*KB/2
=HI(AH+KB)/2

HI=2*aire AIC/AC

HI=2*aire de AIB/AB
donc AB/AB=aire de AIB/aire de AIC

je ne sais pas si cela t'aidera!!!

[c pi]

Remarque, la question suivante est : En déduire que IB/IC = AB/AC

Dans ce cas effectivement on pourrait envisager la démarche suivante.

Au risque de faciliter les choses en prenant juste ce qu'il faut de "hauteurs" pour procéder à coups de "pied", je désignerais
- par H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC,
- par J le pied de la hauteur issue de I dans le triangle AIB,
- par K le pied de la hauteur issue de I dans le triangle AIC.

Ainsi l'aire du triangle AIC serait égale à (AC x IK)/2 = (IC x AH)/2
selon les bases considérées et les hauteurs correspondantes.

De même l'aire du triangle AIB s'exprimerait de deux manières différentes.

En écrivant le rapport de l'aire du triangle AIB à celle du triangle AIC
à l'aide de l'une, puis de l'autre des deux expressions, on obtient l'égalité


Chaque point de la bissectrice d'un angle étant équidistant de ses deux côtés,
on a notamment .. = IK, et les rapports ci-dessus se simplifient...

[c pi]

Je ne pense pas qu'ajouter des droites soit la bonne solution, puisqu'elle rendrait, je suppose, le problème beaucoup trop simpliste.

Je ne pense pas que balayer d'un revers de main condescendant les suggestions fort astucieuses d'un Quidam soit une bonne solution pour obtenir de l'aide sur ce forum et en tirer le meilleur bénéfice. :--:

J'ai l'impression que la solution est là, juste sous mon nez. Toutefois, j'ai un gros nez, aussi peut-elle être cachée. Si quelqu'un pouvait la découvrir à ma place, s'il-vous-plaît...

Elle est bien là : le flair des "anciens" te fait un joli pied de nez ! :zen:

[Winteria]

Je ne pense pas que balayer d'un revers de main condescendant les suggestions fort astucieuses d'un Quidam soit une bonne solution pour obtenir de l'aide sur ce forum et en tirer le meilleur bénéfice. :--:

Pitié, non ; il n'y avait absolument rien de condescendant dans ma réponse, j'ai simplement exprimé mes idées. Toutefois il s'avère que j'avais tort, aussi je vous prie d'accepter mes deux mea culpa : celui d'avoir pu paraître blessant de par ma réponse, et celui d'avoir lancé une idée fausse à tort et à travers.

Merci pour vos réponses.

Toutefois, je n'ai pas tout à fait saisi comment tu réussissais à démontrer que AB/AC = IB/IC.

Et sinon, j'ai pas vraiment compris comment on pourrait calculer l'aire de AIC ou de AIB avec la hauteur de ABC : à moins que la bissectrice et cette hauteur soit confondues (ce qui ferait alors de ABC un triangle isocèle ?), le point H ne peut pas être à la fois sur [IC] et [IB], si ?

Et si je comprends bien, IB=IC=IK=IJ, c'est ça ?

[Winteria]

Et si IC=IB=IK=IJ, cela signifie que IB/IC = 1, donc AB/AC = 1, donc AB = AC, donc ABC isocèle, donc AI et la hauteur issue de A dans ABC sont confondues, et donc que les triangles AIC et AIB ont la même aire, non ? Ou je me trompe complétement ?

J'ai l'impression de m'égarer dans une chemin droit et dégagé, c'est rageant.

[c pi]

Et si IC=IB=IK=IJ,...

IK=IJ parce que ce sont les distances d'un point de la bissectrice (le point I) à l'un et à l'autre côté de l'angle BAC. La distance d'un point à une droite se mesure perpendiculairement à cette droite, ce qui est le cas pour (IJ) et (IK) par rapport respectivement aux côtés [AB) et [AC). Il n'en est pas de même pour (IB) et (IC) par rapport à ces côtés, aussi n'y a-t-il aucune raison pour que IB=IC et toutes les conséquences qu'on pourrait en tirer.

j'ai pas vraiment compris comment on pourrait calculer l'aire de AIC ou de AIB avec la hauteur de ABC

[AH] est bien la hauteur relative à la base [BC] dans le triangle ABC, cela ne l'empêche pas d'être aussi la hauteur relative à la base [IB] dans le triangle AIB ainsi que la hauteur relative à la base [IC] dans le triangle AIC : lorsqu'un triangle est obtusangle, le pied de deux de ses hauteurs se trouve sur le prolongement du côté opposé au sommet dont elles sont issues, à défaut de pouvoir s'appuyer sur la base elle-même.

Si tu as un triangle ABC, quelle que soit la position d'un point M sur la parallèle à (BC) passant par A, les triangles ABC et MBC auront la même aire :
(même base BC x hauteur)/2, la hauteur étant l'écartement constant des deux parallèles. :doh:

[Quidam]

C'est vraiment tout simple cette démonstration !
Comme je l'ai suggéré plus haut, et comme Yvelines78 l'a repris :

I appartient à la bissectrice de A :
or tout point appartenant à la bissectrice d'un angle est équidistant des côtés de cet angle,

soit H le pied de la perpendiculaire à (AC) passant par I, K le pied de la perpendiculaire à (AB) passant par I

Euh ! On pourrait dire plus simplement : soit IK et IH les hauteurs issues de I respectivement dans les triangles AIB et AIC.
Alors :


Mais HI=KI, donc :
[1]

Par ailleurs, si h est la hauteur de ABC par rapport à la base AB, on a :



Par conséquent, [2]

De [1] et [2] on conclut immédiatement :

[Quidam]

aire de AIC=HI*AC/2=HI(AH+HC)/2=HI(AK+HC)/2

J'avoue ne pas avoir eu le courage d'aller jusqu'au bout de ta démonstration ! Mais je pense que ce n'est pas une bonne idée de décomposer AC en AH+HC. D'une part, je pense que cela complique les choses, d'autre part, et surtout, ce n'est pas vrai dans tous les cas de figure. Si l'angle en C est obtus, alors H est à l'extérieur du segment AC et par conséquent : AC=AH-HC...
Donc si tu tiens vraiment à ce découpage, il te faudra étudier plusieurs cas de figure...

[Quidam]

Je ne pense pas que balayer d'un revers de main condescendant les suggestions fort astucieuses d'un Quidam soit une bonne solution pour obtenir de l'aide sur ce forum et en tirer le meilleur bénéfice.

Merci de ton soutien c pi !

[yvelines78]

merci, je n'avais pas vu la fin de la démo!!!

[Winteria]

Désolé de ne pas avoir eu la possibilité de répondre un peu plus tôt.

Merci à tous pour votre aide et les solutions que vous m'offrez mâchées et prêtes à l'emploi, c'est très sympathique de votre part.

[Quidam]

Désolé de ne pas avoir eu la possibilité de répondre un peu plus tôt.

Merci à tous pour votre aide et les solutions que vous m'offrez mâchées et prêtes à l'emploi, c'est très sympathique de votre part.

En fait, je le regrette ! Tu fais erreur, ce n'est pas "très sympathique de ma part" ! En voulant t'aider, je t'en ai trop dit et tu n'as plus qu'à recopier sans comprendre ! A très court terme, ça ta vaudra une bonne note, au mieux les félicitations de ton prof, à long terme, ça ne vaut absolument rien si tu ne fais pas l'effort d'analyser ce qui a été dit, et de mémoriser les méthodes et les résultats ! Et je sais comment sont les lycéens ! Je l'ai été moi-même...
Imod a raison : "offrir des solutions mâchées et prêtes à l'emploi" ce n'est pas bon !

[Winteria]

Certes, mais ne t'en fais pas, j'ai tout de même compris le raisonnement que je m'en vais appliquer. D'ailleurs, j'ai demandé à être éclairé sur certains points dont je n'avais pas saisi les idées, ce que vous avez fait, me permettant ainsi de ne pas recopier bêtement les solutions offertes.

Merci encore.