Pgcd

[titiche]

bonsoir, j'ai des exos a faire pourriez vous m'aider svp pour ces questions:
1.demontrer que la fracton : n/(n+1) irreductible
2.demontrer que (n²+n)/(2n+1) irreductible
3.pour tout entier n naturel au moins egal a 2, on pose, a= n-1 et b= n²-3n +6
demontrer queles diviseurs de a et b sont les memes que a et 4
ET en deduire le PGCD de a et b SUIVANT LES VALEURS DE N
Merci d'avance

[pianozik]

Pour la première question, t'as n inférieur à n+1, donc c'est fait

[becirj]

Bonsoir
1. (n+1)-n=1. D'après le théorème de Bézout, n et n+1 sont premiers entre eux par conséquent la fraction n/(n+1) est irréductible.
2. ; En utilisant la même méthode que pour le 1, tu peux démontrer que n et (2n+1) dont premiers entre eux de même pour (n+1) et (2n+1).

[pianozik]

Voilà une autre méthode. tu poses n^(n+1)=a
donc a|n et a|n+1 ce qui implique que a|1 donc a=1 et par conséquent n et n+1 sont premiers entre eux

[titiche]

ha ok merci bcp et pour le 3. comment est ce que je dois faire ?

[becirj]

En utilisant :algorithme d'Euclide donc en divisant b par a, on obtient donc :
Le PGCD de a et b divise donc 4, il peut être 1,2 ou 4.
Le PGCD est 1 si 2 ne divise pas (n-1) donc si n-1 est impair soit n-1=2k+1 soit n=2k+2 =2(k+1) soit encore si n est pair.
Le PGCD est 4 si 4 divise (n-1) donc si n-1=4k soit n=4k+1 (
SI n est impair et soit n=4k+3, le PGCD est alors 2.