Pgcd Ts

[zookey]

Salut ,
je ne comprends pas cet exo que j'ai a faire pour demain aidez moi svp




1. Etablir que, quel que soit (a, b, q) appartenant à Z3,
a ^b = b ^ (a – bq).
La notation ^ désigne le PGCD des entiers relatifs a et b.

2. Montrer que, quel que soit n appartenant à Z,
(5n3 – n) ^ (n + 2) = (n + 2) ^ 38.
3. Déterminer l’ensemble des entiers relatifs n tels que (n + 2) divise (5n3 – n).
4. Quelles sont les valeurs possibles du PGCD de (5n3 – n) et (n + 2) ?
Déterminer l’ensemble des entiers relatifs n tels que :

(5n3 – n) ^ (n + 2) = 19.

[MathMoiCa]

Hello,

Pour la question 1.

Soit d = a ^ b
Soit d' = b ^ (a-bq)

On veut démontrer que d = d'.
On peut utiliser cette méthode : montrer que d|d' puis que d'|d.

Le premier est quasiment immédiat. En effet, si d est le pgcd de a et b, alors il divise a et il divise b.
Donc il divise a-bq (combinaison linéaire de a et b). Donc il divise b ^ (a-bq) = d' (on sait que c'est un diviseur commun à b et (a-bq), mais on ne sait pas si c'est le plus grand).

Le deuxième est un peu plus compliqué, mais sans plus.
d' divise b et d' divise a-bq.
Donc b = d'b'
Et on peut dire que a-bq = kd'
Donc a = kd'+bq = kd' + b'd'q = d'(k+b'q)

Que peux-tu conclure ?


M.

[MathMoiCa]

Pour la question 2., essaie de te rapporter à la question 1, en déterminant quels sont les a, b et q correspondants.


Pour la question 3., quel est le pgcd de a et de b si a divise b ? Puis sers toi de la question 2...


Et pour la question 4., je pense qu'il faut répéter le même type de schémas.



M.

[zookey]

Merci Beaucoup :)

[zookey]

je ne comprend pas la question 2 et 3 :/ pouvez vous m'aider

[MathMoiCa]

Quel est a, quel est b, est-ce que 38 peut s'écrire sous la forme "a-bq" ?


petit ps : je dois avouer que je n'aime pas particulièrement les gens qui dispersent leur demande d'aide, mais bon... :hein3:



M.

[zookey]

38 mais c'est le n^3 qui me gene enfaite sinn d'apres ce que je pense a= 5n^3-n et b= n+2

[MathMoiCa]

Ben tu pourrais déjà multiplier par n^2 pour retrouver le n^3... et te débrouiller pour que a-bq = 38. (q à déterminer donc)



M.

[zookey]

(5n^3-n)-(n+2)5n² c 'est une bonne piste ou pas

[lapras]

Oui c'est le début puis tu enchaines les calculs en choisissant q a chaque fois
par exeple pour la deuxieme étape :
(10n^2 + n) ^ (n+2) = (10n^2 + n - 10n(n+2)) ^ (n+2) = 19n ^ (n + 2)
continue tu y es presque